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En el artículo anterior (en Ilusiones y Paradojas) hacíamos un pequeño experimento con gatos -espero que nadie se ponga a hacer burradas con sus mascotas-, y ahora vamos a intentar peinar a un perro sin dejarle remolinos…

Tampoco se trata de hacer lo que aparece en la imagen  -pobrecitos-, sino de hablar de un famoso teorema de matemáticas llamado teorema de la bola peluda:

Todo campo de vectores tangente a la esfera S² posee un punto singular.

¿Y que tiene que ver eso con peinar a tu perro?

Bueno, vamos a explicar un poco los términos que aparecen en el enunciado del teorema. Un campo de vectores sobre la esfera S²

se dice tangente a la esfera, si para cada punto z en S², X(z) es ortogonal a z.

Podemos pensar un vector ortogonal como un pelo insertado en cada punto de la esfera y peinado. El teorema de la bola peluda -que se demuestra con técnicas de topología- dice que no es posible peinar una bola peluda -bueno, en realidad su superficie frontera, la esfera exterior- sin que aparezcan puntos singulares, es decir, remolinos en términos “peluqueros”.

¿Y qué es un perro más que -topológicamente- una bola?

Corolario: No te obsesiones por peinar a tu perro de manera diferenciable, déjale algun remolino, estará igual de estupendo.

Nota: El teorema de la bola peluda se cumple en cualquier esfera de grado par. Sin embargo, es posible peinar esferas peludas de dimensión impar -en S²ⁿ⁺¹, X(x₁, . . . x_2n+2) = (−x₂, x₁,−x₄, x₃, . . . ,−x_2n+2, x_2n+1) es un campo de vectores tangente, que verifica la propiedad deseada- y toros peludos…

Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com