En el blog The Dude Minds… recuerdan una demostración de la irracionalidad de √2, también por reducción al absurdo, como la clásica prueba que solemos enseñar en el aula.

Supongamos que √2 es racional y que se escribe como

con m y n coprimos (es decir, la fracción es reducida), entonces se cumple también que

y aquí está la contradicción: se trata de una fracción con términos menores a la primera.

Esto se merece una explicación un poco más minuciosa. ¿Seguro que la segunda fracción es igual a la primera? ¿Seguro que el denominador de la segunda es positivo y menor que el denominador de la primera n? Vamos a verlo. Como

Y como n es positivo, multiplicando por n

n < m < 2n,

y restando n

0 < m – n < n.

Así, el denominador de la segunda fracción es positivo y menor que el de la primera fracción.

Partiendo de

de manera equivalente se tiene que

Observar que como m y n son coprimos, n es el menor entero que hace que el miembro de la izquierda sea entero. Elevando al cuadrado

2 n² =  m²

y restando nm de cada lado de la igualdad

2 n² – mn =  m² – mn.

Observar que como n < m < 2n, es mn <  m², luego ambos lados de la anterior igualdad son positivos. Sacando factor común, queda

n ( 2 n- m ) =  m ( m – n ),

y entonces se obtiene el resultado buscado

y la contradicción.

En el artículo [David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine 68 (1995), no. 4, 286] el autor menciona que Ivan Niven hizo una demostración un poco diferente en 1985. También comenta que este argumento puede modificarse para tratar la irracionalidad de cualquier √k donde k no es un cuadrado perfecto.

Nota: Esta entrada está traducida de Plus d’une preuve dans son sac… del blog The Dude Minds…

Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com