El matemático noruego Axel Thue nació un 19 de febrero, así que hoy es un buen día para hablar de la conocida como sucesión de Thue-Morse que ha aparecido en contextos matemáticos tan diferentes como la teoría de los números –Eugène Prouhet–, la combinatoria –Alex Thue–, la geometría diferencial –Marston Morse– o el ajedrez –Max Euwe–.

Se trata de una sucesión binaria que tiene la siguiente propiedad: ninguna secuencia finita de números se repite tres veces en la sucesión. Es decir, no hay nunca tres ’0′ o tres ’1′ seguidos, ni tres ’00′, tres ’01′ o tres ’10′ consecutivos, ni tres ’100′, tres ’101′, tres ’110′, tres ’111′, tres ’000′, tres ’001′, tres ’010′ o tres ’011′  seguidos, etc.

Se define de manera muy sencilla: si u(k) denota el k-ésimo término de la sucesión, entonces u(0)=0, u(2n)=u(n) y u(2n+1)=1-u(n).

Empieza así: 01101001100101101001011001101001…,

Otra forma recurrente de definirla es la siguiente: si a(n) denota los 2ⁿ primeros términos de la sucesión, entonces  a(0)=0 y a(n+1)=a(n)b(n), donde b(n) se obtiene a partir de a(n) al intercambiar los 0′s y los 1′s.

Además u(k) es la suma, módulo 2, de las cifras en el desarrollo binario de k. Por ejemplo, (18)₂=10010 y por lo tanto u(18)=0. Este cálculo se realiza por medio del autómata de Thue-Morse: partiendo del estado inicial, se siguen las transiciones indicadas por los bits del desarrollo binario. Dependiendo del color del estado de llegada, el término de la sucesión es 0 ó 1. Por ejemplo, para el 18, se obtiene:

y entonces el valor es 0.

PD: Esta entrada participa en la edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com