Para demostrar este teorema, vamos a basarnos en un resultado sobre caminos aleatorios.

Paseo aleatorio en dimensión dos

¿Qué es un camino aleatorio? Consideremos un suceso con dos posibles resultados, por ejemplo el de lanzar una moneda al aire. Si la moneda no está trucada, la probabilidad de que caiga cara o cruz es la misma, de 1/2. Si estudiamos la sucesión de sucesos de este tipo –que son estadísticamente independientes– obtenemos un camino o paseo aleatorio, en este caso, de dimensión 1: daríamos un paso a la izquierda o a la derecha, dependiendo de que saliera cara o cruz.

Cinco lanzamientos de una moneda equilibrada

Si observamos a un borracho –humano– intentando llegar a su casa, podemos pensar que está caminando aleatoriamente por una ciudad cuyas calles forman un retículo. En cada cruce, el borracho decide –bueno, en realidad va dando traspiés, es el azar el que decide por él– una de las cuatro posibles direcciones que dan a esa encrucijada –por supuesto, puede elegir aquella dirección por la que ha venido–: todas ellas tienen la misma probabilidad de 1/4. Este sería un paseo aleatorio bidimensional. ¿Llegará el borracho desde el bar a su casa?

Si  imaginamos un pájaro volando aleatoriamente por un enrejado de tres dimensiones –el pájaro está borracho– en cada cruce de esos cubos de vértices con coordenadas enteras, el animal tiene seis posibles caminos equiprobables a seguir. ¿Llegaría un pájaro borracho hasta su nido?

Claramente, esta noción de paseo aleatorio se puede generalizar a retículos de cualquier dimensión.

Lema: Sea p(d) la probabilidad de que un paseo aleatorio sobre un retículo de dimensión d regrese a su punto de partida. Se verifica que:

p(1) = p(2) = 1 y p(d) < 1 si d > 2.

Dicho de otro modo, los paseos aleatorios en dimensiones 1 y 2 son recurrentes y en dimensiones mayores que 2 son transitorios.

Nota: Este lema fue demostrado por George Pólya en 1921. Además, Watson (1939), McCrea y Whipple (1940), Domb (1954), y Glasser y Zucker (1977) demostraron que:

p(3) = 0,34053732955099914282627318443…

Ya estamos en condiciones de probar el teorema.

Teorema: Los pájaros nunca beberán alcohol.

Demostración: El lema anterior prueba que un borracho humano acabará por encontrar su casa –con probabilidad 1–. Si existiera un borracho pájaro, sus  desplazamientos aleatorios viven en dimensión tres. La probabilidad de regresar al nido es baja –menor de 0,35–, con lo que se arriesga a vagar al azar sin encontrar su casa, y moriría… perdido. Esta dramática circunstancia les obliga necesariamente a no beber.   CQD

Visto –y adaptado– en:  Bruno Winckler, Recueil de blagues mathématiques et autres curiosités, Ellipses, 2011

PD: Esta entrada participa en la edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Matemáticas interactivas y manipulativas

Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com