Perdió la vista debido a la explosión de una estufa cuando tenía 14 años;  a pesar de ello se convirtió en uno de los grandes matemáticos del siglo XX, en parte gracias a su madre Tatyana Andreevna que le leía libros y artículos matemáticos –en particular los de Heinz Hopf, J. Henri C. Whitehead y Hassler Whitney–.

Realizó importantes descubrimientos en varios campos de las matemáticas, en particular en topología algebraica y topología diferencial.

Trabajó en la teoría de la dualidad en homología, siendo aún estudiante. Más tarde sentó las bases para la teoría abstracta de la transformada de Fourier, hoy en día llamada dualidad de Pontryagin.

En topología, en 1940, introdujo una teoría de ciertas clases características, ahora denominadas clases de Pontryagin. En 1942 definió las operaciones de cohomología llamadas en este momento cuadrados de Pontryagin.

Un ejemplo de variedad de dimensión 2 (con un trivialización del fibrado normal fijada) descrita por Lev S. Pontryagin en 1930
https://www.simonsfoundation.org/features/mathematics-and-physical-science/mathematicians-solve-45-year-old-kervaire-invariant-puzzle/attachment/tough_topology_large/

En teoría del operadores, unos ejemplos concretos de espacios de  Krein se llaman espacios de Pontryagin.

También trabajó en teoría de control óptimo. Su principio del máximo es fundamental en la teoría moderna de la optimización. También introdujo en este campo la idea de un principio bang-bang.

Sus estudiantes incluyen matemáticos de la talla de Dmitri Anosov, Vladimir Boltyansky, Revaz Gamkrelidze, Evgeni Mishchenko, Mikhail Postnikov y Vladimir Rokhlin.

Nota: Información obtenida fundamentalmente de Wikipedia. En la web International Conference Differential Equations and Topology (Centennial Anniversary of L.S. Pontryagin) pueden encontrarse fotografías y amplia información sobre su trabajo.