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125. (Junio 2022) Modelos computacionales de ritmo y métrica (III)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Viernes 10 de Junio de 2022

1. Introducción

Seguimos con la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica y en la columna de este mes vamos a examinar la combinatoria de palabras aplicada a la música, en particular a la teoría del ritmo. En el primer artículo [Góm22a] de esta serie tratamos la definición de ritmo desde un punto de vista conceptual así como la presentación de diversos métodos de notación rítmica. En el segundo artículo [Góm22b] se estudiaron métodos de generación y recuento de ritmos, sobre todo los ritmos aksak.

La combinatoria de palabras —combinatorics on words en inglés —es una rama de la matemática discreta que pertenece a su vez al campo de la combinatoria. El campo de la combinatoria de palabras es relativamente nuevo y su objeto de estudio son las palabras y los lenguajes formales, con especial atención a los patrones. La combinatoria de palabras como tal se formaliza modernamente en el libro Combinatorics on words [Lot83], libro escrito por un grupo de matemáticos que tomó el nombre de Lothaire. Sin embargo, hay precedentes tan tempranos como Bernouilli en 1771 con su estudio de las fracciones continuas o los trabajos de Christoffel (1829–1900), de donde toman el nombre las palabras de Christoffel que estudiaremos en la columna de este mes. Para un buen examen histórico de la combinatoria de palabras, véase el artículo de Berstel y Perrin The origins of combinatorics on words [BP07].

La teoría de las palabras de Christoffel empieza a finales del siglo XIX, pero el término no se acuña oficialmente hasta 1990, y es Berstel [Ber90] quien lo hace por primera vez. Desde entonces, las palabras de Christoffel se han estudiado a fondo y hay muchas caracterizaciones y resultados, algunos de los cuales veremos aquí.

2. Palabras de Christoffel

Empezaremos con la definición geométrica de las palabras de Christoffel. Sean a,b dos números naturales tales que su máximo común divisor es 1, esto es, que, salvo el 1, no tienen divisores comunes. Cuando esto ocurre decimos que a y b son primos relativos entre sí o coprimos y es costumbre en el campo de la combinatoria de palabras escribir a ⊥ b. Consideremos a continuación la recta que une (0,0) y (a,b) en el retículo ℤ × ℤ (en lugar de en ℝ2). Llamemos (0,0) → (a,b) al segmento dirigido que une (0,0) y (a,b). El camino inferior de Christoffel, o simplemente el camino inferior, es el camino que se ve en rojo en la parte izquierda de la figura 1. Está definido como sigue:

  1. Es una poligonal de lados paralelos a los ejes que empieza en (0,0) y acaba en (a,b).
  2. La región interior comprendida entre el segmento (0,0) → (a,b) y la poligonal no contiene ningún punto del retículo ℤ × ℤ.

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Figura 1: Definición geométrica de las palabras de Christoffel (figura tomada de [BLRS08])

De manera análoga, se define camino superior de Christoffel. En todo lo que sigue, solo consideraremos el camino inferior, por lo que por camino siempre entenderemos el camino inferior de Christoffel. Si ahora asociamos a cada segmento horizontal unidad la letra x y a cada segmento vertical unidad la letra y, obtendremos una sucesión. Esta sucesión es una palabra de Christoffel sobre el alfabeto A = {x,y}. El conjunto de las palabras formadas con elementos del alfabeto {x,y} se designa por {x,y}* y en dicho conjunto está la sucesión vacía, designada por ε. El número de elementos de una sucesión se llama la longitud de la palabra; la longitud de ε es cero y la de una palabra arbitraria la suma del número de símbolos x e y.

Si miramos la figura 1 de nuevo, vemos que (a,b) = (7,4) y que la palabra de Christoffel asociada es C(a,b) = xxyxxyxxyxy; donde C(a,b) es el símbolo para dicha palabra. Obsérvese que la pendiente de la recta que pasa por el segmento (0,0) → (a,b) es 4∕7. C(0,1) = y es la palabra de Christoffel de pendiente +∞; C(1,1) = xy; y la palabra vacía ε no es una palabra de Christoffel porque 0 no es relativamente primo consigo mismo.

Las palabras de Christoffel tienen la bonita propiedad de que toda palabra de longitud 2 o más es la concatenación de dos únicas palabras de Christoffel; véase [BLRS08] para una prueba de este resultado.

Para los lectores amantes de la computación, a continuación presentamos un algoritmo para generar palabras de Christoffel; aparece en el capítulo 6 del libro de Boenn [Boe18].

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Figura 2: Algoritmo de generación de palabras de Christoffel (tomado de [Boe18])

3. Generación de ritmos a partir de palabras de Christoffel

3.1. Conversión de palabras en ritmos

La manera de generar ritmos a partir de palabras de Christoffel es bastante directa. Escojamos como alfabeto el conjunto A = {1,0}, donde haremos que 1 represente una nota y 0 un silencio. Las palabras de Christoffel son ahora sucesiones formadas de por ceros y unos (por bits), que no son otra cosa que representación de ritmos, como vimos en la primera columna de esta serie. Por ejemplo, la palabra C(5,7) es la sucesión xyxyxyyxyxyy, pero cuando se la transforma en un ritmo es [1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0] (por claridad de lectura, pondremos los ritmos entre corchetes). Este ritmo no es sino la conocida clave son 6/8 de la tradición musical afrocubana. Un ritmo que proviene de una palabra de Christoffel se llamará ritmo de Christoffel.

3.2. Operaciones sobre ritmos de Christoffel

Matemática y musicalmente, vienen a la mente varias operaciones. La primera es el complementario, esto es, intercambiar los ceros por los unos y viceversa. Si C(a,b) es un ritmo de Christoffel, su complementario se designará por ¬C(a,b). Por ejemplo, si C(3,5) = [1 1 0 1 1 0 1 0], entonces el complementario será ¬C(3,5) = [0 0 1 0 0 1 0 1].

Otra operación, menos obvia de concebir, es la operación ν, que lleva un recuento de las repeticiones en dos elementos consecutivos. ν(C(a,b)) se define como sigue:

  • El primer bit del ritmo se queda como está en ν(C(a,b));
  • Si en C(a,b) el k-ésimo bit es igual al anterior, con k = 2,…,a + b, entonces el k-ésimo bit de ν(C(a,b)) es 0; en otro caso, es 1.

Abajo tenemos ejemplos de las operaciones anteriores:

  • C(3,5) = [1 1 0 1 1 0 1 0];
  • ¬C(3,5) = [0 0 1 0 0 1 0 1];
  • ν(C(3,5) = [1 0 1 1 0 1 1 1]
  • ¬ν(C(3,5) = [0 1 0 0 1 0 0 0]

Otras operaciones son posibles tales como las operaciones lógicas de o lógico ∨ o de y lógico ∧ (siempre que los ritmos tengan la misma longitud).

La rotación de ritmos de Christoffel es otra operación muy común. La rotación a la izquierda de k posiciones de un ritmo C(a,b), donde 0 ≤ k ≤ a + b, consiste en leer el ritmo desde la posición k hacia la izquierda volviendo al principio cuando se llega a la última posición del ritmo. La rotación a la izquierda de 3 posiciones de C(3,5) es el ritmo [1 1 0 1 0 1 1 0]. Análogamente, se pueden definir las rotaciones a la derecha. Las rotaciones a la izquierda de k posiciones se designan por ϱk(C(a,b)), donde k puede ser positivo o negativo.

Por último, una operación muy natural es la inversión del ritmo, que no consiste en otra cosa que en leer el ritmo de derecha a izquierda empezando por el último bit. Se usa la notación R(C(a,b)) para designar la inversión de C(a,b). La inversión de C(3,5) es R(C(3,5)) = [0 1 0 1 1 0 1 1]. No es muy difícil probar la igualdad:

C(b,a) = R(¬C (a,b))

4. Ritmos de Christoffel en música

Los ritmos de Christoffel se encuentran en la música y en la poesía griega. La poesía griega se basaba en un sistema de pies métricos. Un pie es la unidad de medida métrica y está compuesto por combinaciones de sílabas largas y cortas. Esto se traslada a la música combinando notas largas y cortas. Este sistema de pies métricos se ha usado con frecuencia para analizar la música occidental. La siguiente tabla muestra algunos ejemplos. En la primera columna se encuentra el nombre de los pies rítmicos, después su notación moderna, seguido por la notación SNMR y, por último la correspondiente palabra de Christoffel.

Ritmo Notación Notación SNMR Palabra de Christoffel
Yambo PIC X C(1,2) = 110
Troqueo PIC > ϱ(C(1,2)) = ν(C(1,2)) = 101
Tribaco PIC i C(0,3) = 111
Espondeo PIC II C(2,2) = 1010
Anapesto PIC :I C(1,3) = 1110

Tabla 1: Ritmos de Christoffel en los pies métricos de la poesía griega

También encontramos ritmos de Christoffel en las claves de las tradiciones musicales africanas y afro-americanas. Una clave es un ritmo que se toca a lo largo de una pieza y que tienes varias funciones, entre ellas la de estabilizador rítmico, marcar el fraseo o establecer referencia temporal. Para más información sobre las claves, véanse [Lon04] o [DGMM+09] y las referencias allí contenidas. La tabla siguiente muestra varias claves de diversas culturales musicales que son ritmos de Christoffel. Los ritmos están escritos en compás de 4/2. El punto en la segunda fila significa concatenación de ritmos.

Ritmo Notación Notación SNMR Palabra de Christoffel
Clave son 2-3 PIC - H - - - ϱ4(C(11,5) = 0010100010010010
Clave rumba 3-2 PIC - H - I H ϱ(C(7,3)) ⋅ C(1,1) ⋅ C(3,1) = 1001000100101000
Bossa Nova PIC - - H - - ϱ2(C(11,5) = 1001000100100100
Soukous PIC - -H X˜  I C(7,3) ⋅ ν(C(5,1)) = 1001001000110000

Tabla 2: Ritmos de Christoffel en los pies métricos de la poesía griega

En la música turca, los ritmos de Christoffel aparecen con mucha frecuencia. La tabla siguiente muestra unos cuantos de esos ritmos.

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Figura 3: Ritmos de Christoffel que se encuentran en la música turca (lista tomada de [Boe18])

Para acabar esta columna, vamos a explorar la relación entre los ritmos de Christoffel y los ritmos euclídeos. La siguiente sección es una breve exposición de los ritmos euclídeos y sus propiedades.

5. Ritmos euclídeos

En lo que sigue vamos a seguir la exposición del trabajo Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso [Góm09] del propio autor de estas líneas.

Los ritmos euclídeos reciben este nombre porque provienen de la aplicación del algoritmo de Euclides. Este algoritmo lo inventó Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números y consiste en hacer divisiones sucesivas para hallar el máximo común divisor de dos números positivos (m.c.d. de aquí en adelante). Si queremos hallar el m.c.d. de dos números a y b, suponiendo que a > b, primero dividimos a entre b, y obtenemos el resto r de la división. Euclides se dio cuenta de que el m.c.d. de a y b era el mismo que el de b y r. Para verlo, observemos que al dividir a entre b, hallamos un cociente c y un resto r de tal manera que se cumple que:

a = c⋅b+ r,  0 ≤ r ≤ b- 1

Esta ecuación nos dice que todo divisor común de a y b tiene que serlo también de r. En particular, el m.c.d. de a y b es el m.c.d. de b y r. En efecto, si d es un divisor común de a y b, entonces

a-= c⋅ b-+ rd     d   d

y, por tanto, r divide a d. Esto implica que m.c.d(a,b) = m.c.d.(b,r). Pero ¿por qué parar aquí? Aplicamos el mismo argumento a b y r y obtenemos una sucesión de restos estrictamente decreciente. En algún momento esa sucesión alcanza el 0. Se puede probar que el último resto no nulo es precisamente el máximo común divisor de a y b.

Por ejemplo, calculemos el máximo común de 17 y 7. Como 17 = 7 ⋅ 2 + 3, entonces el m.c.d.(17, 7) es igual al m.c.d.(7, 3). De nuevo, como 7 = 3 ⋅ 2 + 1, entonces el m.c.d.(7, 3) es igual al m.c.d.(3, 1). Aquí es claro que el m.c.d. entre 3 y 1 es simplemente 1. Por tanto, el m.c.d entre 17 y 7 es 1 también.

¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima? Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas entre los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la figura 4. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la figura 4-paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [1 0] (en columnas en el paso (2) de la figura 4). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo —véase el paso (3) de la figura 4— nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 4-paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)).

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Figura 4: El algoritmo de Euclides para generar ritmos regulares.

Aquí cada 1 representa una nota [x] y cada 0, un silencio [.]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [x . . x . x . . x . x . . x . x .].

Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k,n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7,17) = [x . . x . x . . x . x . . x . x .]= (3232322). Para más información sobre ritmos euclídeos, véase el artículo Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso [Góm09] del propio autor de estas líneas.

Demain y sus coautores [DGMM+09] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides.

Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo.

  • E(5,8) =[x . x x . x x .]= (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yon. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango.
  • E(5,12) =[x . . x . x . . x . x .]= (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya.
  • E(5,16) =[x . . x . . x . . x . . x . . . ]= (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota.

Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides. De nuevo, véase el artículo The distance geometry of music de Demain y sus coautores [DGMM+09].

He aquí una lista de las principales propiedades de los ritmos regulares o ritmos euclídeos:

  1. Los ritmos euclídeos tienen solo una o dos duraciones. En el caso de dos duraciones, estas difieren exactamente en una unidad. Por ejemplo, en este ritmo euclídeo (21212) hay dos duraciones de valor 2 y 1.
  2. Cuando el número de notas no es primo relativo del número de pulsos, los ritmos euclídeos están formados por la repetición de un patrón. En caso contrario, el ritmo está compuesto por un patrón repetido un número máximo de veces más un único patrón más pequeño, que además es subpatrón del patrón que se repite.
  3. Los patrones que forman los ritmos euclídeos son a su vez euclídeos. Esto crea una jerarquía de ritmos euclídeos anidados.
  4. La rotación de un ritmo euclídeo es también euclídeo. Esto es consecuencia de que los ritmos euclídeos maximizan las distancias intercordales entre las notas y dichas distancias no cambian con las rotaciones.
  5. Tomar el complementario de un ritmo euclídeo (esto es, intercambiar ceros por unos) devuelve un ritmo euclídeo.

6. Ritmos de Christoffel y ritmos euclídeos

Boenn prueba en su libro [Boe18] que si, dados a,b con a ⊥ b, existe un k ∈ ℕ tal que a-kb = 1, entonces el ritmo de Christoffel C(a,b) es igual al ritmo euclídeo E(b,a + b). Aquí por E(b,a + b) nos referimos al ritmo obtenido directamente del algoritmo de Bjorklund expuesto más arriba en la figura 4. En el caso en que no se cumpla la condición anterior, el ritmo de Christoffel C(a,b) es igual a una rotación del ritmo euclídeo E(b,a + b). Boenn presenta la siguiente tabla de ritmos euclídeos y sus correspondientes ritmos de Christoffel para ilustrar los resultados mencionados.

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Figura 5: Ritmos euclídeos que son ritmos de Christoffel (figura tomada de [Boe18])

7. Notación SNMR

Cuadro con la notación SNMR:

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Figura 6: La codificación SNMR (figura tomada de [Boe18])

 

Bibliografía

[Ber90] Jean Berstel. Tracé de droites, fractions continues et morphismes itérés. Mots, pages 298–309, 1990.

[BLRS08] Jean Berstel, Aaron Lauve, Christophe Reutenauer, and Franco Saliola. Combinatorics on Words: Christoffel Words and Repetition in Words. American Mathematical Society, Rhode Island, USA, 2008.

[Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018.

[BP07] Jean Berstel and Dominique Perrin. The origins of combinatorics on words. European Journal of Combinatorics, pages 996–1022, 2007.

[DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009.

[Góm09] Paco Gómez. Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso. http://www.upm.es/sfs/Rectorado/Vicerrectorado\%20de\%20Investigacion/Oficina\%20de\%20Transferencia\%20de\%20Resultados\%20de\%20Investigacion\%20(OTRI)/Divulgacion/documentos/Si_Euclides.pdf, Noviembre, 2009.

[Góm22a] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (I). https://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18789&directory=67, abril de 2022.

[Góm22b] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (II). https://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18810&directory=67, abril de 2022.

[Lon04] Justin London. Hearing in Time. Oxford University Press, Oxford, England, 2004.

[Lot83] M. Lothaire. Combinatorics on words. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts., 1983. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 17.

 

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