Mientras Johann estuvo en Groninga, rivalizó con su hermano en una fascinante porfía matemática, pero que desafortunadamente desembocó en una amarga contienda personal. Johann propuso el problema de la braquistócrona en junio de 1696 y retó a la comunidad matemática a resolverlo antes del fin del año, añadiendo con sarcasmo que la curva era una bien conocida de los matemáticos. El problema se expresa como sigue:

Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula móvil M, descendiendo por su propio peso, iría de A a B en el menor tiempo posible.

La novedad del problema en sí era evidente: no se trata de encontrar puntos donde una curva tiene un máximo o un mínimo, sino que la misma incógnita buscada es una curva que debe minimizar cierta relación. Según palabras de Leibniz este tipo de problemas resulta muy bello y hasta el momento totalmente desconocido.
Al llegar la Pascua del año siguiente se conocían en total 5 soluciones: además de Johann y Leibniz, que fue el primero en responder, resolvieron el problema Jacob Bernoulli, L'Hôpital y un autor inglés anónimo. Johann no tuvo dificultad en reconocer que el autor era Isaac Newton y lo expresó con una frase histórica: por las garras se conoce al león. La curva solución de este problema era la cicloide.

En las respuestas a este desafío, aparecen, además, las primeras señales de una nueva rama de las Ciencias Matemáticas: el Cálculo de las Variaciones, que será la disciplina matemática dedicada sobre todo a los problemas de optimización, después de los aportes fundamentales de Euler y Lagrange.

Pero la solución más sencilla y popular en su época fue la concebida por el autor del problema, Johann Bernoulli. El método de Johann consistía en establecer una analogía entre la curva del más breve descenso, con la trayectoria que seguiría un rayo de luz en un medio con una densidad adecuadamente elegida. Esta analogía de carácter óptico-mecánica encontraría desarrollo posterior, en el siglo XIX, en los trabajos de William Hamilton.

El trabajo en que Jacob resuelve el problema de la braquistócrona lleva el original título Resolución del problema de mi hermano, a quien yo a mi vez planteo otro, y efectivamente propone dos nuevos problemas. El primero de ellos se refería a encontrar la curva de trayecto más rápido entre una familia particular de cicloides y fue resuelto por Johann de forma expedita.

La segunda cuestión propuesta por Jacob en su trabajo es notable, entre otras cosas, por revivir un enigma antiguo: el problema isoperimétrico. Jacob complicó grandemente el problema, logrando que incluso su enunciado resultara difícil de comprender. Además ofreció una recompensa de 50 ducados a su hermano Johann si aceptaba el reto en un plazo de 3 meses y daba la solución antes de un año. Johann, con su fanfarronería habitual respondió que en lugar de 3 meses no necesitaba más de 3 horas para alcanzar la solución, e incluso para ir más allá y resolver un problema aún más general. Pero en realidad Johann solo resolvió una parte del problema y no precisamente la más importante. Precisamente esta idea incorrecta de Johann que él considera como metodología universal, es lo que provoca un largo y ofensivo intercambio entre los hermanos.

En los siglos XVII y XVIII ofrecía gran interés para la navegación en alta mar encontrar las trayectorias mínimas sobre la superficie del globo terrestre, es decir las curvas denominadas geodésicas. Los estudios sobre las geodésicas condujeron a Johann a introducir las tres coordenadas para representar un punto en el espacio y las ecuaciones que relacionan estas coordenadas para representar las superficies, estableciendo de este modo las bases de lo que sería más tarde la Geometría analítica del espacio tridimensional. Todo esto Johann lo comunica a Leibniz por carta, pero por causas que resultan desconocidas, no publicó sus resultados. En 1728 propuso este problema al entonces veinteañero Euler quien se llevaría los lauros.

En 1705 Johann Bernoulli recibió una carta instándolo a que regresara a Basilea. Durante el trayecto de regreso se enteró de la muerte de su hermano Jacob. Este fatal acontecimiento va a cambiar radicalmente los planes de Johann y en un sentido favorable para él.

Después de su retorno sucedió algo inusual en la historia de la Universidad de Basilea: el senado universitario se dirigió a Johann con la petición de que ocupara sin concurso el puesto liberado tras la muerte de su hermano. Johann ocupó la cátedra de matemática de la Universidad de Basilea durante 42 años. Sus lecciones las escucharon estudiantes y profesores, doctores y académicos de Inglaterra, Francia, Italia, Suecia y otros países.

Johann llevó una vida extraordinariamente activa: dictó conferencias en la universidad, dirigió la cátedra, participó en variadas disputas científicas, fue en 8 ocasiones Decano de la Facultad de Filosofía y en dos periodos Rector de la Universidad de Basilea. Se carteaba con matemáticos, físicos, académicos de toda Europa. Y, no obstante toda esta actividad social y administrativa, nunca suprimió el trabajo científico investigativo.

Además, Johann llevaba a cabo lecciones particulares en su casa. En estas clases se reunían gente próxima a él, entre ellos sus hijos Nicolaus II, Daniel, Johann II, su sobrino Nicolaus I, el francés Maupertuis y quién sería más tarde su sustituto como el líder de todos los matemáticos Leonhard Euler. Aunque Johann no editó sus lecciones, éstas estuvieron al alcance de los matemáticos de la época y jugaron un papel importantísimo en el desarrollo subsiguiente del análisis infinitesimal.

Dentro de sus inumerables ocupaciones Johann encontró tiempo para cumplir las obligaciones de magistrado y realizar un formidable trabajo para mejorar la enseñanza media en Basilea. Pero no pensemos que su establecimiento con tantos honores en su ciudad natal, moderó su temperamento pendenciero. No había pasado mucho tiempo de su nombramiento como catedrático, cuando Johann se involucró activamente en la controversia entre Newton-Leibniz. Tomó partido decididamente por Leibniz y emplazó su artillería más pesada para añadir pólvora a los argumentos que mostraban la potencia del cálculo de los diferenciales. Después de la muerte de Leibniz, Johann tuvo que enfrentar solo a todo el ejército inglés, como escribió él en su autobiografía. Y la realidad es que este “ejército” se batió pronto en retirada ante la persistente lluvia de proyectiles, algunos realmente ofensivos y ásperos, de la artillería bernoulliana.

A Johann Bernoulli se deben numerosos resultados relacionados con el cálculo. Pero muchos de estos resultados están tan estrechamente enlazados con los de su hermano y con los del propio Leibniz que hace difícil realizar un justo reconocimiento de lo que pertenece a cada uno. Pero nos parece claro que la primera definición de función como expresión analítica se deba a Johann, quién escribió: Una función de una magnitud variable se denomina a una cantidad, compuesta de cualquier forma de esta magnitud variable y de constantes.

Su trabajo Hidráulica fue pionero en la aplicación de las leyes de Newton, en esta temática que era de importancia capital para toda Europa. Su mérito se ve obnubilado por otro signo que señala marcadamente su naturaleza envidiosa. El trabajo de Johann esta fechado en 1732, pero de forma completamente falsa. Este cambio de fecha se debió solamente a un intento de Johann de obtener prioridad sobre su hijo Daniel que había publicado su Hidrodinámica en 1738.

Johann estuvo junto a su hermano Jacob entre los 8 miembros extranjeros que en 1699 la Academia de París eligió por vez primera y, en 1701, ambos entraron a formar parte de la flamante Academia de Berlín. Johann Bernoulli murió a los 80 años y dejó tras sí un enorme legado a las matemáticas, en resultados originales y en prestigiosos alumnos. Solo su alumno Leonhard Euler bastaría para atestiguarlo.