ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. TEORIA DEL POTENCIAL

Durante muchos años Poincaré explicó (y escribió) cursos sobre casi todas las ramas de la Física desde el punto de vista de lo que se denomina, tal vez un poco imprecisamente, Física Matemática, lo que le llevó a notar que “las propiedades del potencial no siempre habían sido demostradas ni con suficiente generalidad ni con suficiente rigor. Me dí cuenta de ello cuando intenté enseñarlas, y también cuando intenté aplicarlas a cuestiones de Análisis”.

Es muy notable la mezcla de ideas físicas y nociones matemáticas que lleva a cabo en sus trabajos (algo así hizo Klein también), como por ejemplo el papel de las cargas eléctricas y la energía en el tratamiento del problema de Dirichlet **** -Δu = 0 en D, u = h en S, donde D es un dominio acotado de frontera S y h es continua, usando su método de “barrido” (bliayage), donde debe imponer condiciones de regularidad (la de “cono exterior”) sobre S.

También considera el problema de valores propios **** -Δu = λu en D, u = o en s, para cuyo estudio establece las llamadas “desigualdades de Poincaré” que tan importantes han venido siendo en el desarrollo de las “soluciones débiles” de las ecuaciones en derivadas parciales, de las que hay algunos antecedentes en estos trabajos. Establece la existencia y propiedades de los valores propios, mejorando mucho resultados previos de Picard y, sobre todo, Schwarz.

TOPOLOGIA ALGEBRAICA

He aquí otra rama de la matemática para la que Poincaré puede reclamar el título de fundador: “todos los problemas -escribe en 1901- que atacaba me conducían al Analysis Situs [en terminología de la época]”.

En 1894 inició una serie de artículos donde pone los cimientos de la topología algebraica (que entonces se llamó también topología combinatoria), que tan enorme desarrollo tuvo a lo largo del siglo XX. Crea lo que hoy llamamos homología simplicial; es decir, triangulaciones, subdivisión baricéntrica, complejo dual, papel de los números de Betti. Esto le permite generalizar el famoso teorema de Euler para poliedros, el que se resume en la igualdad C + V - A =2, donde C es el número de caras, V el de vértices y A el de aristas. Con su resultado se cierra precisamente la parte del libro Pruebas y refutaciones, de lmre Lakatos, dedicado en gran parte a este teorema. Define el llamado grupo fundamental o primer grupo de homotopía. Alguno de sus enunciados no se demostró hasta muchos años después (por de Rham en 1931).

En su último artículo sobre ecuaciones diferenciales, escrito el mismo año de su muerte, muestra que la existencia de soluciones periódicas del problema restringido de tres cuerpos se reduce a un teorema de punto fijo para cierta función definida en el plano, lo que se ha llamado “último teorema geométrico de Poincaré”. Quedó sin demostrar, algo que hizo G.D.Birkhoff poco después de su fallecimiento.

Un siglo después de haber asentado sus fundamentos, Poincaré vuelve-o sigue, si se prefiere-en el escaparate. Desde hace algún tiempo viene hablándose ampliamente en el gremio de si los trabajos del matemático ruso Grisha Perelman proporcionan la demostración del único caso( n = 3) de la llamada Conjetura de Poincaré, es decir, que toda variedad compacta de dimensión n orientable y con primer grupo de homotopía trivial es homeomorfa a la esfera.

La conjetura fue enunciada por el propio Poincaré en 1904, precisamente para n = 3, parece que antes había dado una presunta demostración… para la que él mismo halló un contraejemplo.
Este es justamente el único caso hoy pendiente de solución. En efecto, la conjetura, que es trivial para n = 1 y clásica si n = 2, fue extendida a todo n y demostrada para n > 4 por S.Smale (Medalla Fields en 1966). El caso n = 4 lo fué por M.Freedman en 1982 (lo que le valió la medalla Fields de 1986) usando ideas y métodos en apariencia muy alejados de estos dominios que han hecho avanzar la teoría de las 4-variedades.

Vamos a resumir ahora, para terminar, casi telegráficamente, otras de sus contribuciones a la matemática:

Funciones de varias variables complejas: Fue uno de los fundadores de la teoría, que aplicó a la de las funciones abelianas. Extiende nociones como representación conforme y residuo, contribuyendo a sentar las bases de lo que después se llamó “geometría analítica”.

Teoría de números: Estudia la teoría aritmética de formas, extendiendo algunos resultados de Hermite y Jordan. Su último trabajo en la materia, de 1901, abre el camino a la geometría algebraica sobre el cuerpo de los racionales dentro de la teoría de las ecuaciones diofánticas. Dieudonné llega a sugerir que pudo conjeturar el famoso teorema de Mordell (1922), después de Mordell-Weil -el grupo de puntos racionales de la curva es de tipo finito- y que alguna de sus técnicas influyó en la prueba de Mordeil.

Algebra: Se ocupa de sistemas hipercomplejos. Introduce la noción de ideal en un álgebra. Se interesa por los grupos y álgebras de Lie, introduce la noción de “álgebra envolvente” y demuestra el teorema que hoy se llama de Poincaré-Birkhoff-Witt, importante en la teoría.

Geometría algebraica: Trabaja en la reducción de funciones abelianas,  generalizando resultados de Jacobi, Weierstrass y Picard; también generaliza resultados de Riemann para funciones theta. Hacia 1910 se ocupa de curvas sobre una superficie algebraica, y da la primera demostración rigurosa él -con su fama no del todo inmerecida- de un muy discutido teorema de Castelnuovo, Enriques y Severi, cuya demostración no era correcta. Hasta 1965 no se consiguió dar otra demostración adecuada.

La teoría de la luz y el electromagnetismo fueron dos de sus principales intereses en la Física, estudiando las teorías de Lorentz y el papel del éter. Escribió un célebre artículo sobre “La dinámica del electrón” y contribuyó al desarrollo de las ideas de Lorentz y del “principio de relatividad”, de manera que se le ha considerado -no por todo el mundo y no sin complicadas discusiones, en las que podemos entrar aquí- como uno de los inventores de la Teoría (restringida) de la Relatividad.

Pero para algunos el más interesante de estos aspectos es el que se refiere directamente a la actividad del matemático. Sus textos sobre el descubrimiento en matemática son ya clásicos desde hace muchos años. Para Poincaré:

“La actividad del matemático consiste precisamente en coleccionar los hechos, en reconocer lo que se esconde tras ellos, captar las analogías y encontrar las leyes que unen hechos ajenos a primera vista, buscar la elegancia en los métodos y la economía en el pensamiento”.