La Cubatura y la Cuadratura de la Esfera en EL MÉTODO de Arquímedes

«Entre todos los trabajos que se refieren a las disciplinas matemáticas, parece que el primer lugar puede ser reivindicado por los descubrimientos de Arquímedes, que confunden a las almas por el milagro de su sutilidad».

E.Torricelli. Opera geometrica. Florencia, 1644. Proemio.

Fragmento de un sello griego emitido en 28/04/1983 que representa a Arquímedes (con el tradicional busto del Museo Nacional de Nápoles), diagramas geométricos y la  balanza de su método mecánico de descubrimiento. Se trata de una adaptación del famoso mosaico renacentista que representa la muerte del sabio en la segunda guerra púnica.

Arquímedes es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, tanto por la magnitud de su contribución al patrimonio matemático de la humanidad como por la genialidad de sus métodos. Una copiosa tradición legendaria, inmortalizada por la imaginación épica de los más egregios literatos greco-latinos –Polibio, Tito Livio, Plutarco,  Cicerón, …– y reivindicada por numerosos escritores y científicos a partir del Renacimiento –Leonardo, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal, …– elevó la figura de Arquímedes hasta la más alta cima del genio e ingenio humanos, entre el mito y la realidad, magnificados aún más, si cabe, en todos los tiempos, por un ingente despliegue de iconografía arquimediana, que ha embellecido la imagen del sabio personaje hasta cotas casi hagiográficas. No obstante, el retrato que más interesa es el del pensamiento de Arquímedes, plasmado en el sello inmarcesible de sus escritos geométricos, algo que sobrevivirá mientras haya mentes que sigan abriéndose paso hacia el descubrimiento de la verdad matemática persiguiendo encontrar la demostración de la propia verdad. Pero allende el romanticismo que la Literatura ha impregnado a la figura de Arquímedes, interesa sobremanera a la Historia de la Ciencia y sobre todo a la Historia de la Matemática, su ingente contribución a la magnificación del acervo matemático de su época, en una triple vertiente: a) la propia ampliación de los conocimientos euclídeos, b) la consolidación del procedimiento demostrativo, y  c) la aplicación de una eficiente metodología nueva en el descubrimiento matemático.

A partir de 1906, fecha en que el gran helenista e historiador de la Matemática J.L.Heiberg exhumó la obra de Arquímedes, EL MÉTODO, tras una encomiable labor de paleografía matemática, sabemos que este tratado es una obra singular de Arquímedes, porque en ella revela a la comunidad matemática alejandrina –en carta dirigida a Eratóstenes– la forma de descubrir los resultados matemáticas por medio de la mecánica, que se ocultaba en el resto de sus escritos científicos. La combinación de Geometría y Estática que Arquímedes había hecho en sus tratados Sobre el Equilibrio de los Planos y en Sobre los Cuerpos Flotantes para establecer rigurosamente ciertas propiedades relacionadas con el equilibrio de ciertos cuerpos geométricos, la realiza de nuevo en EL MÉTODO para descubrir e investigar resultados, que, obtenidos de forma mecánico-geo­métrica en esta obra, demostrará de forma impecablemente rigurosa en sus famosos tratados científicos conocidos. Aquí veremos la aplicación del Método mecánico a la cubatura (volumen) de la esfera, de donde Arquímedes descubre a su vez, mediante una feliz intuición, la Cuadratura (superficie) de la esfera.

Primera página de la obra de Arquímedes Sobre la Esfera y el Cilindro. Museo Municipal de Trieste.

La obra de Arquímedes Sobre la Esfera y el Cilindro consta de dos Libros. El primer Libro es un complemento natural del Libro XII de Los Elementos de Euclides. Ambos tratan de las figuras esferas, cilindros y conos, pero Arquímedes trasciende de forma muy considerable los resultados euclídeos, al demostrar aquí, de forma magistral, mediante el método de exhaución, nuevos y fundamentales teoremas sobre el volumen (Proposición I.34 y su Corolario) y la superficie de la esfera (Proposición I.33).
Los trabajos geométricos desarrollados por Arquímedes en esta obra son probablemente considerados los más importantes por el científico, hasta el punto que, según testimonio de Plutarco (Marcelo, XVII.12), ratificado por Cicerón (Tusculanas V.23), el sabio exhortó a sus deudos a que se grabara en su tumba lo que sería el primer epitafio científico de la historia, las figuras de un cilindro circunscrito a una esfera junto con un epigrama que describiese la relación que las vincula, sencillas proporciones que debieron impresionar al propio Arquímedes:

«La esfera y el cilindro circunscrito a ella están en la relación de 2 a 3, tanto en volumen como en superficie total.»

«los volúmenes de un cono, una semiesfera y un cilindro de la misma altura y radio están en la razón 1:2:3.»

La cubatura de la esfera en  la Proposición 2 de EL MÉTODO (Archimedis Opera Omnia de  Heiberg, 1910-1913). La Cubatura de la Esfera es, sin duda el ejemplo arquimediano más ilustrativo de la aplicación del método mecánico de descubrimiento al cálculo de volúmenes.