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Escrito por Vicente Meavilla Seguí | ||||
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TERCERA LECCIÓN Cuando la función y = f(x) es continua entre dos límites dados de la variable x, y se asigna a esta variable un valor comprendido entre dichos límites, un incremento infinitamente pequeño de la variable produce un incremento infinitamente pequeño de la función. Por consiguiente, si Δx = i, entonces los dos términos de la “razón entre las diferencias” (1) serán dos cantidades infinitamente pequeñas. Sin embargo, mientras estos dos términos se aproximan indefinidamente y simultáneamente al límite cero, la razón podrá converger a otro límite positivo o negativo. Este límite 1, si existe, tiene un valor determinado para cada valor particular de x 2, pero varía con x. Así, por ejemplo, si se toma f(x) = xm, siendo m un número entero, entonces la razón entre las diferencias infinitamente pequeñas será:
y´ o f´(x) En la investigación de las derivadas de las funciones de una variable x es útil distinguir las funciones que se llaman “simples”, que se consideran como el resultado de una sola operación efectuada sobre la variable, de las funciones que se construyen con la ayuda de muchas operaciones, y que se llaman “compuestas”. Las funciones simples que generan las operaciones del álgebra y la trigonometría (véase la 1ª parte del “Cours d’Analyse”, capítulo 1º) pueden reducirse a las siguientes: a + x, a – x, ax, a/x, xa, Ax, L(x), sen x, cos x, arcsen x, arccos x, donde A es un número constante 3, a = ±A es una cantidad constante 4, y la letra L indica el logaritmo tomado en el sistema cuya base es A. Si se toma una de estas funciones simples en lugar de y, será fácil, en general, obtener la función derivada y´. Por ejemplo, se obtiene que
En estas últimas fórmulas, la letra e designa el número 2, 718. . . que es el límite [cuando α→0] de la expresión Además, se tendrá que Dado que las diversas fórmulas anteriores sólo están determinadas para aquellos valores de x a los que corresponden valores reales de y, deberíamos suponer que x es positivo en aquellas fórmulas que contienen las funciones L(x), l(x), y también la función xa cuando a designa una fracción de denominador par o un número irracional. (2) z = F(y). La función z o F(f(x)) será lo que se llama una “función de función” de la variable x. Si se designan por Δx, Δy, Δz, los incrementos infinitamente pequeños y simultáneos de las tres variables x, y, z, se obtendrá de donde, tomando límites, resulta (3) z´ = y´ · F´(y) = f´(x) · F´(f(x)). Por ejemplo, si hacemos z = ay e y = l(x), entonces z´= ay´= Para acabar, notemos que las derivadas de las funciones compuestas se determinan, en ocasiones, más fácilmente que las de las funciones simples. Así, por ejemplo, se encuentra que y, finalmente,
Notas: . Referencias on line
http://www.polymedia.polytechnique.fr/EnLignes/Cours_Histo/Cauchy_1823.pdf |
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