TERCERA LECCIÓN
Derivadas de las funciones de una variable

Cuando la función y = f(x) es continua entre dos límites dados de la variable x, y se asigna a esta variable un valor comprendido entre dichos límites, un incremento infinitamente pequeño de la variable produce un incremento infinitamente pequeño de la función. Por consiguiente, si Δx = i, entonces los dos términos de la “razón entre las diferencias”

(1)

serán dos cantidades infinitamente pequeñas. Sin embargo, mientras estos dos términos se aproximan indefinidamente y simultáneamente al límite cero, la razón podrá converger a otro límite positivo o negativo. Este límite ¹, si existe, tiene un valor determinado para cada valor particular de x ², pero varía con x. Así, por ejemplo, si se toma f(x) = x^m, siendo m un número entero, entonces la razón entre las diferencias infinitamente pequeñas será:

que tendrá por límite la cantidad mx^m-1. Es decir, una nueva función de la variable x. En general sucederá lo mismo. Sólo la forma de la nueva función, que servirá de límite a la razón [f(x+i) - f(x)] / i, dependerá de la forma de la función y = f(x) propuesta. Para indicar esta dependencia, la nueva función se llama “función derivada” y se designa, con la ayuda de un acento, por la  notación

y´   o    f´(x)

En la investigación de las derivadas de las funciones de una variable x es útil distinguir las funciones que se llaman “simples”, que se consideran como el resultado de una sola operación efectuada sobre la variable, de las funciones que se construyen con la ayuda de muchas operaciones, y que se llaman “compuestas”. Las funciones simples que generan las operaciones del álgebra y la trigonometría (véase la 1ª parte del “Cours d’Analyse”, capítulo 1º) pueden reducirse a las siguientes:

a + x, a – x, ax, a/x, x^a, A^x, L(x), sen x, cos x, arcsen x, arccos x,

donde A es un número constante ³, a = ±A es una cantidad constante ⁴, y la letra L indica el logaritmo tomado en el sistema cuya base es A. Si se toma una de estas funciones simples en lugar de y, será fácil, en general, obtener la función derivada y´. Por ejemplo, se obtiene que

 ^5  
 6 
Además, poniendo  i = αx , Aⁱ = 1 + β, y (1 + α)^α = 1 + γ, se obtendrá
 ^7
 8
 9

En estas últimas fórmulas, la letra e designa el número 2, 718. . . que es el límite [cuando α→0] de la expresión . Si se toma este número como base de un sistema de logaritmos, se obtienen los logaritmos “Neperianos” o “hiperbólicos”, que indicaremos con la ayuda de la letra l. Dicho esto, es evidente que l(e) = 1,

 ¹⁰

Además, se tendrá que
para  y = l(x) ,  y´ = ;
para  y = ex ,  y´ = ex .

Dado que las diversas fórmulas anteriores sólo están determinadas para aquellos valores de x a los que corresponden valores reales de y, deberíamos suponer que x es positivo en aquellas fórmulas que contienen las funciones L(x), l(x), y también la función x^a cuando a designa una fracción de denominador par o un número irracional.
Sea ahora z una segunda función de x, relacionada con la primera, y = f(x), mediante la fórmula

(2)                    z = F(y).

La función z  o  F(f(x)) será lo que se llama una “función de función” de la variable x. Si se designan  por Δx, Δy, Δz, los incrementos infinitamente pequeños y simultáneos de las tres variables x, y, z, se obtendrá

de donde, tomando límites, resulta

(3)                    z´ = y´ · F´(y) = f´(x) · F´(f(x)).

Por ejemplo, si hacemos  z = ay  e  y = l(x), entonces  z´= ay´= .
Con la ayuda de la fórmula (3) se determinarán fácilmente las derivadas de las funciones simples A^x, x^a, arcsen x, arccos x, suponiendo que se conocen las derivadas de las funciones L(x), sen x, cos x. En efecto

Para acabar, notemos que las derivadas de las funciones compuestas se determinan, en ocasiones, más fácilmente que las de las funciones simples. Así, por ejemplo, se encuentra que

y, finalmente,

Notas:

¹

² Cauchy se refiere al concepto de derivada de una función en un punto.

³ Número real positivo.

⁴ Número real.

⁵

⁶

⁷

⁸ Aⁱ = 1 + β ⇒ i = L Aⁱ = L(1 + β)
Entonces:

⁹
Por tanto:

¹⁰ 

.

Referencias on line

•  Résumé des Leçons données a l’École Royale Polytechnique, sur le Calcul Infinitésimal

http://www.polymedia.polytechnique.fr/EnLignes/Cours_Histo/Cauchy_1823.pdf