II

Para exponer los principios de esta Ciencia retomemos el problema anterior y escribamos en lenguaje ordinario los razonamientos que hizo el Algebrista para resolverlo y en caracteres algebraicos lo que le habría bastado escribir para auxiliar la memoria.

Cualquiera que sea la parte menor, la tercera, la expreso por una sola letra, por ejemplo x.

Por consiguiente, la segunda parte es x más 115. Lo escribo así: x + 115.

Elegimos el signo +, que se lee más, para designar la adición de las dos cantidades entre las que se encuentra.

En cuanto a la primera parte (la mayor), como excede a la segunda en 180, se expresará por x + 115 + 180.

Sumando las tres partes se tiene 3x + 115 + 115 + 180, o reduciendo 3x + 410.

Pero la suma de las tres partes debe ser igual a 890.

Esto lo expreso así: 3x + 410 = 890.

Utilizo el símbolo =, que se lee igual, para expresar la igualdad de las dos cantidades entre las que se encuentra.

Con este Cálculo, el problema propuesto se convierte en otro: determinar una cantidad cuyo triple aumentado en 410 es igual a 890.

Encontrar la solución de problemas semejantes es lo que se llama resolver una ecuación. En este caso la ecuación es 3x + 410 = 890. La llamamos así porque indica la igualdad de dos cantidades. Resolver esta ecuación equivale a encontrar el valor de la incógnita x que satisfaga esta condición: su triple más 410 es igual a 890.

III

Para resolver esta ecuación, veamos cómo razona el algebrista y cómo escribe estos razonamientos.

La ecuación que se quiere resolver es 3x + 410 = 890.  Significa que hace falta añadir 410 a 3x para obtener 890. Entonces, 3x es 890 menos 410. Esto lo escribo así: 3x = 890 – 410.

El símbolo  –, que se lee menos, significa que la cantidad que le precede debe disminuirse en la que le sigue.

De la ecuación 3x = 890 – 410 se obtiene, restando 410 de 890, esta otra ecuación: 3x = 480.

Pero si tres x valen 480, entonces una x vale la tercera parte de 480 o 160. Esto lo escribo así   x = 480/ 3 = 160  y el problema está resuelto, dado que basta con conocer una de las partes para conocer las demás.

IV

Si se quiere resolver el problema calculando el valor de la parte mayor lo hacemos así:

Sea esta primera parte y.

La segunda, teniendo 180 de menos, será y – 180.

La tercera, teniendo 115 de menos que la segunda, será y – 180 – 115.

Entonces, la suma de las tres cantidades es 3y – 180 – 180 – 115, es decir 3y – 475.

Pero esta suma debe ser igual a 890.

Se tiene entonces la ecuación 3y – 475 = 890 que indica que 3y excede en 475 a 890, dado que hace falta restar 475 de 3y para obtener 890. Entonces 3y = 890 + 475 o 3y = 1365.

Entonces, y (la parte mayor) = 455 como antes.

V

Si en el problema anterior se repartiese  una cantidad mayor o menor que la que se tenía, y las diferencias fuesen otros números distintos de los que se han utilizado, es evidente que se resolvería de forma similar. Supongamos, por ejemplo, que el problema se enunciase así:

Repartir 9600 entre cuatro personas de modo que la primera tenga 300 más que la segunda, la segunda 250 más que la tercera, y la tercera 200 más que la cuarta.

Designamos la cuarta parte por x.

La tercera parte es x + 200.

La segunda x + 200 + 250.

La primera x + 200 + 250 + 300.

Como la suma de  estas cuatro partes debe ser igual a 9600, se tiene la ecuación 4x + 1400 = 9600.

Para resolver esta ecuación observemos, como en el problema anterior, que si 4x sólo es igual a 9600 cuando se le suma 1400, entonces 4x será igual a lo que sobra de 9600 cuando se le resta 1400. Esto se escribe así 4x = 9600 – 1400, o 4x = 8200.

Pero si cuatro x son iguales a 8200, entonces una x valdrá la cuarta parte de 8200. Es decir, x = 8200/4 = 2050. Conociendo el valor de x, la parte menor, las otras se encuentran en seguida. La tercera = 2250, la segunda = 2500 y la primera = 2800.

VI

El problema todavía podría ser más variado y depender siempre de los mismos principios. Supongamos, por ejemplo, que se enunciase así:

Repartir 5500 entre dos personas de modo que la primera reciba lo mismo que la segunda más su tercera parte, más 180.

Veamos cómo se resuelve.

Designemos la segunda parte por x.

Entonces, la primera será x + (x/3) + 180.

Como su suma debe ser igual a 5500, resulta la ecuación 2x + (x/3) + 180 = 5500.

Para resolver esta ecuación se empieza sumando 2x y x/3 que nos da 7x/3 dado que dos enteros valen seis tercios y, por consiguiente, los dos enteros más un tercio son siete tercios.

Entonces, la ecuación precedente se reduce a  (7x/3) + 180 = 5500, que, por el mismo razonamiento que en los ejemplos anteriores, se convierte en 7x/3 = 5500 – 180 o 7x/3  = 5320.

Si la tercera parte de 7x vale 5320, entonces 7x valen tres veces más. Esto se escribe así 7x = 5320 x 3.

Utilizamos el signo x, que se lee por, para designar la multiplicación de las dos cantidades que separa.

Por tanto, en lugar de 7x = 5320 x 3, basta con escribir 7x = 15960 que resulta de multiplicar 5320 por 3.

De esta última ecuación se tiene que x = 15960/7 = 2280, valor de la segunda parte.

La primera parte es fácil de encontrar dado que basta con sumar a esta cantidad (2280) su tercera parte (760) y 180. Se obtiene 3220 para la primera parte.

Los principiantes pueden modificar todavía más el enunciado del problema precedente y resolverlos en los diferentes casos que se les ocurran. Ellos serán recompensados de sus esfuerzos por la práctica que adquirirán.

Bibliografía

•  CLAIRAUT, A. C. (1746). Elémens d’algèbre. París, Guerin, David & Durand.