En el libro III de la Geometría, encontramos la descripción de un potente cambio de variable, muy utilizado en Teoría de Ecuaciones, que permite eliminar el segundo término de una ecuación polinómica de cualquier grado.

Cómo se puede eliminar el segundo término de una ecuación

Siempre se puede eliminar el segundo término de una ecuación disminuyendo sus verdaderas raíces en la cantidad conocida del segundo término dividida por el número de dimensiones del primer término, si uno de estos dos términos está marcado con el signo + y el otro está marcado con el signo – , o aumentándolas en la misma cantidad si los dos términos tienen el signo +, o los dos tienen el signo –.¹

Así, para eliminar el segundo término de la última ecuación, que es:

y⁴ + 16y³ + 71y² – 4y – 420 = 0

se divide 16 por 4, debido a las cuatro dimensiones del término y⁴, obteniendo 4. Por esto, hago z – 4 = y, y escribo²:

La verdadera raíz³ de esta ecuación, que era 2, ahora es 6, puesto que ha sido aumentada en 4, y las raíces falsas, que eran 5, 6, 7, ahora son 1, 2, 3, puesto que cada una de ellas se ha disminuido en 4.

De forma similar, para eliminar el segundo término de la ecuación:

x⁴ – 2ax³ + (2a² – c²)x² – 2a³x + a⁴ = 0,

como 2a dividido por 4 es , deberemos hacer  z +  = x  y escribir:

Una vez encontrado el valor de z, el de x se obtiene sumándole .

Aplicación didáctica

El procedimiento anterior permite obtener fácilmente la fórmula de resolución de la  ecuación cuadrática.

Sea  la ecuación de segundo grado  ax² + bx +c = 0   [1].

Si hacemos x = z –  y sustituimos esta expresión en  [1], resulta:

Referencias bibliográficas:

•  SMITH, D. E y LATHAM, M. L. (1954). The Geometry of Rene Descartes with a facsimile of the first edition. New York: Dover Publications, Inc.