La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat

Os considero como el más grande geómetra de toda Europa.
Carta de Pascal a Fermat de 10 de agosto de 1660. OEUVRES DE FERMAT. Correspondencia de Fermat (TH.OF.II.450).

«Lagrange y Laplace hacen remontar el origen del Cálculo Diferencial a los métodos de Fermat sobre máximos y mínimos y tangentes».
E. Brassinne. Précis des Oeuvres mathématiques de P.Fermat. Toulouse, 1853, pág.4.

Fermat. Lycée Pierre de Fermat de Toulouse. Portada del volumen IV de las OEUVRES DE FERMAT, publicadas en cuatro volúmenes, entre 1891 y 1912, por los impresores-libreros Gauthiers-Villars, bajo la dirección de C.Henry y P.Tannery y los auspicios del Ministerio de Instrucción Pública francés.

Fermat es uno de los matemáticos más extraordinarios de todos los tiempos. Fruto de un meticuloso estudio de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Pappus, Fermat poseía una prodigiosa erudición matemática, que propició su apasionada afición a la Matemática y su encomiable labor de comentador y exegeta de los más eximios matemáticos griegos. De Diofanto nace su ingente contribución al nacimiento y desarrollo de la Teoría de Números; de Apolonio y Pappus –junto con Vieta– su creación de una Geometría Analítica y de ambas, al conectar con los trabajos de Arquímedes, resultarían los numerosos métodos y artificios de Cálculo Infinitesimal (Diferencial e Integral) que hacen de Fermat el ascendiente directo de casi todas las disciplinas matemáticas que aparecen en el siglo XVII, a lo largo del cual se desarrolla toda su actividad científica. 

En los originales y prácticos métodos de extremos y tangentes de Fermat brota por primera vez el «cociente incremental» que define la derivada. Aunque los extremos y su primera aplicación a las tangentes se mantienen en un ámbito algebraico sin cruzar la frontera entre lo finito y lo infinitesimal, desde el punto de vista  formal Fermat da un paso trascendental hacia la algoritmización de la diferenciación de Newton y Leibniz.

Fermat sólo escribió una parte de sus investigaciones y rehusó su publicación; lo esencial de su obra está en su asidua correspondencia con los científicos contemporáneos –donde muestra una sagaz inteligencia que inventa, explica, demuestra y debate con vehemente pasión– y en los márgenes de sus libros. Esto hace de Fermat una de las figuras más atractivas de la Historia de la Matemática, pero también ha contribuido a las lamentables vicisitudes históricas de la publicación de sus trascendentales descubrimientos matemáticos.

Fermat deriva un procedimiento para construir las tangentes a las curvas algebraicas de sus métodos de máximos y mínimos. Describiremos brevemente su primer método de extremos y veremos cómo Fermat lo aplica al trazado de tangentes¹.

Fermat compone hacia 1629 la memoria “Método para la investigación de máximos y mínimos” (Methodus ad disquirendam maximan et miniman et de tangentibus linearum curvarum). Es un procedimiento puramente algorítmico despro­visto de todo fundamento demostrativo, donde introduce la técnica de la «adigualdad».

Como segunda parte de este tratado, Fermat describe el primer ejemplo de aplicación del método de máximos y mínimos al trazado de las tangentes a las líneas curvas, la tangente a la parábola. Denominaremos a esta memoria el Methodus. En ella aparece como primicia histórica lo que se convertirá después en el algoritmo para obtener la primera derivada de una función algebraica; se trata de la fructífera idea de incrementar una magnitud asimilable a nuestra variable independiente, que desde entonces se ha convertido en la esencia del Cálculo Diferencial. Fermat se expresa con estas palabras:

Método para la investigación de máximos y mínimos (Methodus, TH.OF.III.121–122)

Toda la teoría de la Investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y la única regla siguiente:

1. Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según convenga al enunciado).
2. Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a en términos que pueden ser de cualquier grado.
3. Se sustituirá a continuación la incógnita original a por a+e, y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a y e, en términos que pueden ser de cualquier grado.
4. se «adigualará» para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima.
5. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos lados habrá términos afectados de e o de una de sus potencias.
6. Se dividirán todos los términos por e, o por alguna potencia superior de e, de modo que desaparecerá la e, de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros.
7. Se suprimirán, a continuación, todos los términos donde todavía aparece la e o una de sus potencias, y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada, se igualará, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo.
8. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a, que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original.

He aquí un ejemplo:

"Sea dividir una recta AC en E, de manera que AE x EC sea máximo".

Pongamos AC=b.

1. Sea a uno de los segmentos, el otro será b–a.
2. El producto del que se debe encontrar el máximo es ba–a².
3. Sea ahora a+e el primer segmento de b, el segundo segmento será b–a–e, y el producto de segmentos: ba–a²+be–2ae–e².
4. Se debe «adigualar» al precedente: ba–a²+be–2ae–e² ba – a².
5. Suprimiendo términos comunes: be 2ae + e².
6. Dividiendo todos los términos por e: b 2a + e.
7. Se suprime la e: b = 2a.
8. Para resolver el problema se debe tomar por tanto la mitad de b.

Es imposible dar un método más general.

Nota:
¹ La referencia concreta de un texto de Fermat se hace indicando el tomo y las páginas de las OEUVRES DE FERMAT (publicadas entre 1891 y 1912, en cuatro tomos, por Paul Tannery y Charles Henry), a continuación de la partícula TH.OF. por ejemplo: TH.OF.III.92 indicará que el texto al que se hace alusión se encuentra en la página 92 del tercer tomo.