Un problema de máximos y mínimos

Pierre Fermat nació en Beaumont-de-Lomagne (Francia) el 17 de agosto de 1601 y murió en Castres (Francia) el 12 de enero de 1665. Abogado de profesión y matemático vocacional contribuyó al desarrollo del álgebra, geometría, cálculo diferencial e integral, teoría de números y cálculo de probabilidades.

En vida de Fermat sus investigaciones circularon preferentemente en forma de cartas. Así, la memoria Methodus ad disquirendam maximam et minimam (ca. 1638),en la que se propone un método para el cálculo de máximos y mínimos, fue remitida por Fermat al Padre Marin Mersenne¹.

La adaptación del texto del Methodus que ofrecemos a continuación se basa en la versión inglesa presentada por D. J. Struik en su A source book in Mathematics 1200-1800.

MÉTODO PARA LA EVALUACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

La teoría para la evaluación de máximos y mínimos presupone dos incógnitas y la regla siguiente:

Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según la formulación del problema). Expresemos el máximo o el mínimo mediante a, en términos que pueden ser de cualquier grado. Reemplacemos la incógnita original a  por  a + e, y expresemos la cantidad máxima o mínima mediante a y e, en términos que pueden ser de  cualquier grado. Adigualemos, usando el término de Diofanto², las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima y suprimimos sus términos comunes. Con esto, ambos miembros contendrán términos afectados de e o de alguna de sus potencias. Dividiremos todos los términos por e, o por una potencia mayor de e, de modo que e desaparecerá de, al menos, uno de los términos. Después, suprimiremos todos los términos en los que todavía aparezca e o alguna de sus potencias y se igualarán los otros; o si uno de los miembros desaparece, se igualarán los términos positivos y negativos. La solución de esta última ecuación dará el valor de a que conduce al máximo o al mínimo, utilizando la expresión original.

He aquí un ejemplo:
Dividir el segmento AC por el punto E de modo que AC x EC sea máximo.

Escribamos AC = b y designemos por a uno de los segmentos. Por tanto, el otro será b – a  y el producto, cuyo máximo se quiere encontrar, será ba – a².
Sea ahora a + e el primer segmento de b. El segundo será  b – a – e, y el producto de los segmentos será  ba – a² + be –2ae – e². Esto se debe adigualar con el precedente  ba – a².
Reduciendo los términos comunes tendremos be – 2ae + e². De donde, suprimiendo e, resulta que b = 2a. Para resolver el problema deberemos tomar la mitad de b.

Referencias bibliográficas
STRUIK, D. J. (1986). A source book in Mathematics 1200-1800. New Jersey: Princeton University Press.

Referencias on line
Fermat’s rule for maxima and minima
http://neo.math.unifi.it/archimede_NEW_inglese/mostra_calcolo/guida/node7.html

Notas:

¹ Marin Mersenne, teólogo, filósofo y matemático francés, nació en Oizé el 8 de septiembre de 1588 y murió en París el 1 de septiembre de 1648. Estudió en el colegio jesuita de La Flèche, donde tuvo como compañero a Descartes, ocho años más joven que él, con quien trabó una gran amistad.
Marin entró en el noviciado de los Mínimos en Nigeon (1611) y fue destinado como profesor de filosofía a Nevers (1614-1620), después pasó a París. Sus primeras obras fueron de carácter teológico pero después se dedicó preferentemente a la ciencia, llevando a cabo investigaciones de tipo experimental y publicando trabajos de contenido matemático. Sin embargo, su principal mérito fue el ánimo que transmitió a los científicos de su época y el interés que prestó a la difusión de sus trabajos.

² El término adigualar, en latín adequatio, proviene del griego parisótes con el que Diofanto denota que un número se aproxima a otro tanto como sea posible.