Resolución gráfica de ecuaciones cuadráticas

Thomas Simpson (1710-1761)

El  inglés Thomas Simpson es conocido en el mundo de las Matemáticas por sus contribuciones a los métodos numéricos de integración. Fue miembro de la Royale Society y de la Real Academia Sueca de Ciencias. También escribió sobre cálculo diferencial (New Treatise of Fluxions, 1737) y probabilidad (The Nature and Laws of Chance, 1740). En el campo de la educación matemática, sus textos sobre álgebra, geometría y trigonometría se editaron profusamente durante el siglo XVIII.

En su Treatise of Algebra (1745) se encuentra la resolución gráfica de los tres tipos de ecuaciones cuadráticas siguientes:

x² + ax = bc (primera forma)
x² – ax = bc (segunda forma)
ax – x² = bc (tercera forma)

He aquí la traducción del texto original (pp. 234-236).¹

Construcción de la primera y segunda formas

Con radio  se describe el círculo OAF y, desde un punto A cualquiera de su circunferencia se aplica la línea recta AB  igual a  b – c (o a  c – b si se supone que c es la mayor) prolongándola hasta que BC = c. Desde el punto C, a través del centro O, se traza CDE que corta a la circunferencia en D y E.

Entonces, el valor de x vendrá dado por CD, en el primer caso, y por CE en el segundo.

Por construcción, DE = a. Entonces, es claro que si CD se designa por x, entonces CE = x + a. Pero si CE se designa por x, entonces CD = x – a. Pero, en virtud de Euclides 37. 3(²), CE · CD = AC · CB. Es decir: (x + a)x = x² + ax = bc, en el primer caso, y x(x – a) = x² – ax = bc, en el segundo (...)

Si b y c son iguales, entonces la solución es más sencilla y se construye así:

Desde cualquier punto F de la circunferencia se dibuja la perpendicular FC, igual a b (o igual a c), al radio FO y después se traza CDE como antes.

Notas: