45. LAS TANGENTES

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En la figura aparecen dos circunferencias, sus dos tangentes exteriores y una tangente interior. Demostrar que, independiente del radio de las circunferencias o las distancia entre sus centros, siempre EF = GH?

Quiero agradecer a mi amigo y compañero Fernando Fouz el haberme propuesto este problema

Inicialmente ponemos las igualdad (por simetría) de los segmentos tangentes exteriores a ambas circunferencias:

AB = AE + EB = EF + EG = EF + EF + FG

Por otro lado, de forma análoga:

CD = CH + HD = FH + GH = FG + GH + GH

Igualando ambas expresiones y simplificando:

GH = EF

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