80. LOS CUADRILÁTEROS - Página 2: Solución |
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Es un problema de carácter geométrico pero que podemos transformarlo rápidamente en un problema aritmético. En efecto, contar los lados de cuadriláteros convexos que no tienen un lado común con el
polígono, es equivalente a contar el número de subconjuntos de cuatro elementos que
hay del conjunto {1, 2, 3, ... , 14, 15} y que no tengan dos enteros consecutivos, ni tampoco al
1 y 15 juntos.Para resolver este nuevo problema contamos los subconjuntos que no tienen dos enteros consecutivos y le quitamos los que tengan al 1 y al 15. Sea A = {a, b, c, d} un subconjunto que cumpla 1 ≤ a < b < c < d ≤ 15 y consideremos los números p = a −1; q = b − a; r = c − b; s = d − c y t = 15 − d. Estos números satisfacen que p, t ≥ 0, q, r, s ≥ 2 y p + q + r + s + t = 14 ........ (*) y además toda solución de (*) da un subconjunto de 4 elementos que no tiene dos enteros consecutivos. Las soluciones de (*) corresponden a las soluciones de k + l + m + n + o = 8 con k, l, m, n, o≥ 0 ...... (*,1) Que como sabemos corresponde al número combinatorio 12 sobre 4, esto nos da 495 posibilidades. Ahora quitamos los subconjuntos que tienen al 1 y al 15. Contando de forma análoga a la anterior, vemos que es lo mismo que contar los subconjuntos con 2 elementos del conjunto {1, 2, ... , 11} y que no tenga enteros consecutivos de los cuales hay el número combinatorio 10 sobre 4 lo que nos da 45 posibilidades. Por lo tanto hay un total de 450 cuadriláteros que satisfacen las condiciones del problema. |
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