161. Francesco Flores D’Arcais

El matemático italiano Francesco Flores D’Arcais (1849-1927) nació un 26 de enero. Se licenció en 1869 por la Università di Pisa y fue profesor de cálculo infinitesimal en la Università di Cagliari desde 1874. Enseñó álgebra y geometría analítica en la Università di Bologna en el periodo 1875-1878, y después en la Università di Padova, donde permaneció hasta su muerte. Fue autor de varios trabajos científicos, entre ellos un curso de cálculo infinitesimal que puede leerse en estos enlaces [Corso di Calcolo Infinitesimale (Vol. 1), Edit. Angelo Draghi, 1899] y [Corso di Calcolo Infinitesimale (Vol. 2), Edit. Angelo Draghi, 1901]. Corso di Calcolo Infinitesimale (Vol. 1) Más información: [Giorgio Israel, Francesco Flores D’Arcais, Dizionario Biografico degli Italiani 48, 1997]. Nota: La información para redactar esta entrada se ha obtenido de Wikipedia Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Miércoles, 26 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

162. Herbert Ellis Robbins (1915-2001)

El matemático Herbert Ellis Robbins (1915-2001) nació un 12 de enero. Investigó en topología, teoría de la medida, estadística y en otros campos de las matemáticas. Llevan su nombre: el lema de Robbins usado en análisis de Bayes empírico, las álgebras de Robbins en teoría de álgebras de Boole, el teorema de Robbins en teoría de grafos, la síntesis de Whitney-Robbins, una herramienta para demostrar el teorema anterior, y el problema de Robbins, un problema aún no resuelto sobre optimización. Fue el coautor, junto a Richard Courant, del libro de divulgación matemática What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, publicado por primera vez en 1941, traducido a varios idiomas, y que aún continúa editándose.   Portadas de What is Mathematics? en varios idiomas Más información: Herbert Ellis Robbins, Mathematics Genealogy Project Herbert Ellis Robbins, MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews Wikipedia Richard Courant y Herbert Robbins, ¿Qué es la matemática? Una exposición elemental de sus ideas y métodos, Aguilar, 1979  [pdf] Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Miércoles, 12 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

163. ¿Una 'profecía matemática' en la Alhambra?

ABC, 10 de Enero de 2022 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

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164. 200. (Enero 2022) Bibliografía y referencias

Llegamos simultáneamente al año 2022 y al número 200 de este serial mágico-matemático. Esto significa que debemos respetar religiosamente dos tradiciones. En primer lugar, ¿podemos destacar algunas características del número 2022? Lo más visible es que, aunque no es primo, sólo tiene tres factores primos, 2, 3 y 337. ¡Ah!, pero 337 es un primo del tipo 4k+1, así que es un número pitagórico y su cuadrado es la suma de dos números cuadrados: 3372 = 1752 + 2882. Multiplicando por 6, resulta que 20222 = 10502 + 17282. Tal como apuntamos en el número 178 de este rincón (enero de 2020), hemos llegado por tercer año consecutivo a un número infeliz (y nos quedan tres más). Como contrapartida, es un número admirable, pues se puede expresar como suma de sus divisores propios, teniendo uno de ellos signo negativo: 2022 = 1 + 2 + 3 - 6 + 337 + 674 + 1011. Por ser el número 2022 múltiplo de la suma de sus cifras, recibe el nombre de número de Harshad. Para no salirse de la norma, también puede obtenerse mediante operaciones aritméticas con las nueve cifras significativas, en orden. Por ejemplo, así: 2022 = 1 x 2 x 3 + 4 x (-5 + 6) x 7 x 8 x 9. ¡Me ha salido una operación palindrómica! 9 x 8 x 7 x (6 - 5) x 4 + 3 x 2 x 1 = 2022. Por otra parte, como si de un voluminoso tratado con esta cifra redonda de capítulos se tratara, merece rematarse con una lista pormenorizada de los libros, artículos, enlaces de internet, etc., utilizados a lo largo del trabajo. He elegido como patrón el orden cronológico de aparición de los artículos, eliminando algunos enlaces que ya no son accesibles y aquellas referencias que la frágil memoria de este corresponsal impiden ser rescatadas. Sólo indicaré los enlaces en los que se puede acceder al contenido completo del correspondiente artículo o libro. Dada la cantidad de material recopilado en este rincón durante todo este periodo de tiempo, vamos a dividirlo en dos partes, dejando para el próximo mes la relación bibliográfica correspondiente a la segunda centena de artículos. Matem1 Henry Dudeney, Modern Puzzles (1926). Matem2 Ken Beale, The Pallbearers Review, v. 9, n. 3 (1974). Matem3 Claude-Gaspar Bachet de Méziriac, Problèmes Plaisants et Délectables qui se font par les nombres, (1612). [Matem90]-[Matem93] Matem4 Juan Tamariz y Gema Navarro, Por arte de Verbimagia, Producciones mágicas Tamariz (2005). [Matem87] Matem8 Theodore DeLand, Mysterious Match Trick, Goldston Magic Monthly (1915). Matem10 Banachek, Think a month, Magick Magazine. Matem18 Royal V. Heath, Mathemagic, Simon & Schuster (1933). Matem25 Sam Loyd, Cyclopedia of 5000 puzzles, tricks and conundrums, Pinnacle Books (1914). Matem29 Martin Gardner, Los mágicos números del Dr. Matrix, Prometheus Books (1985). Matem36 Ennio Peres, Giochi matematici, Editori Riuniti (1986). Matem38 William Jefferys, What is the day of the week, given any date? John Conway, Tomorrow is the day after Doomsday, Eureka (1973). Matem40 Gary Fabjance, Interactive Magic Tricks. Matem41 Dean Clark y Dilip Datta, Arithmetic Matrices and the Amazing Nine-Card Monte, The College Mathematics Journal (1993). Matem43 Stewart James, Stewart James in Print: The first fifty years, Jogestja (1989). Werner Miller, Ear Marked, Shane (2006). Matem45 Martin Gardner, The paradox of the nontransitive dice and the elusive principle of indifference, Scientific American 223 (1970). Matem46 Martin Gardner, Checker jumping, Sichermann dice, and Kruskal's card trick, Scientific American 238 (1978). Matem47 Nicolas Chuquet, Triparty en la science des nombres (1484). Matem48 Luca Pacioli, De viribus quantitatis (1496). Matem50 Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery (1956). Elwyn Berlekamp y Tom Rodgers (eds.), The Mathemagician and Pied Puzzler: a collection in tribute to Martin Gardner, AK Peters (1999). Henry Perigal, On Geometric Dissections and Transformations, Messenger of Mathematics (1875). Matem52 Jesús García Gual, Juegos basados en sistemas de numeración, Estalmat (2010). Matem54 Rafael Losada, Cómo descubrir la moneda falsa sin desesperarse, Suma 33 (2000). Matem55 Walter Rouse Ball y Harold Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, Dover (1987). [Matem93] Matem58 Blaise Pascal, Traité du triangle arithmetique (1653). Matem59 Jeremiah Farrell, Cubist Magic. En Puzzlers' tribute (editado por David Wolfe y Tom Rodgers), AK Peters (2002). Matem60 Jon Racherbaumer, The Artful Dodges of Eddie Fields, Tannen (1968). Mulawa Dreaming web. Matem64 Ian Stewart, El laberinto mágico, Crítica (2011). Matem65 José Muñoz, Ernesto, el aprendiz de matemago, Nivola (2010). José Chamoso y William Rawson, A vueltas con los números, Nivola (2003). Matem68 Colm Mulcahy, Low Down Triple Dealing, Card Colm (2004). Matem69 Volker Tanger, Euro note serial number check. Matem71 Colm Mulcahy, Quantitative Reasoning in Small Groups, Card Colm (2006). Matem72 Roberto Giobbi, The magic memories, 07. Matem73 Gérard Michon, Ternary Cards (2009). Matem76 Jim Steinmeyer, Impuzzibilities, Hahne (2002). [Matem83]-[Matem92] George Sands, Lucky 13, Pallbearers Review (1975). Matem77 Martin Gardner, Hexaflexagons and other mathematical diversions, Simon and Schuster (1959). Matem78 Paul Curzon y Peter McOwan, Mathemagic: the magic of computer science. [Matem80] Matem81 Walter Penney, Penney-Ante, Journal of Recreational Mathematics 2 (1969). Yutaka Nishiyama y Steve Humble, Winning odds, Plus Magazine (2010). Martin Gardner, On the paradoxical situations that arise from nontransitive relations, Scientific American 231 (1974). Matem84 Martin Gardner, Riddles of the sphinx, AMS (1987). [Matem86] Matem88 Kuniyasu Fujiwara, Automatic Ace Triumph, Genii Magazine 63 (2000). Matem89 Kjartan Poskitt, Prime Numbers, Murderous Maths. Thérèse Eveilleau, La balada de los pares y de los impares, Mathematiques Magiques. Matem91 John Scarne, Scarne on card tricks, Crown Publishers (1950). Matem92 Boris Kordemsky, Moscow Puzzles (1956). Brian Daniel, The Bermuda Square, Magic Magazine (2010). Brian Daniel, Teach by Magic (2010). Gianni Sarcone, The 13th magic crystal skull, Archimedes' Laboratory. Matem93 Juan Mieg, El brujo en sociedad, Madrid (1839). Jacques Ozanam, Récréations mathématiques et physiques, París (1694). Martin Gardner, Mathematical Circus, New York (1979). Matem94 Charles Jordan, Thirty card mysteries (1919). Colm Mulcahy, What's black and red and red all over?, Card Colm (2008). Persi Diaconis y Ronald Graham, Magical Mathematics, Princeton (2011). [Matem99] Matem95 Karl Fulves, My best self-working card tricks, Dover (2001). Matem96 Dominique Souder, Maths et Magiques, SOS Education (2015). Matem98 Yakov Perelman, Aritmética Recreativa, Leningrado (1938). Matem99 Leonardo Pisano, Liber Abaci (1202). Pedro Alegría, Sucesiones de recurrencia en la matemática recreativa, Revista Eureka (2009). Martin Gardner, Fibonacci Fantasy, Apocalypse (1978). Arthur McTier, Card Concepts, Davenport (2000). Colm Mulcahy, Gibonacci Bracelets, Card Colm (2007).   Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 10 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

165. Julio Garavito Armero y el círculo de los nueve puntos

El astrónomo, matemático, ingeniero y economista Julio Garavito Armero (1865-1920) nació un 5 de enero. Sus investigaciones contribuyeron al desarrollo de la ciencia en Colombia durante el siglo XIX. Durante la Guerra de los Mil Días colombiana, Garavito formó parte de una sociedad científica secreta El Círculo de los Nueve Puntos –funcionó hasta la muerte de Garavito–, un grupo que compartía café y ciencia. El nombre de la sociedad era un homenaje a Euler, por la el teorema de la circunferencia de los nueve puntos –también llamado del círculo de Euler– que afirma que es posible construir una circunferencia sobre cualquier triángulo propuesto; su nombre se debe a que esta circunferencia pasa por nueve puntos notables –seis de los cuales se sitúan sobre triángulo, salvo que sea obtusángulo–: el punto medio de cada lado del triángulo (M, N y P en la figura de debajo), los pies de las alturas (E, G y J), y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo (D, F y H). Para entrar en  El Círculo de los Nueve Puntos era necesario dar una demostración de este teorema… Como astrónomo del Observatorio Astronómico Nacional, entre otros, estudió los cometas que pasaron por la Tierra entre 1901 y 1910 o el eclipse solar de 1916 –visto en buena parte de Colombia–. También estudió las fluctuaciones lunares y su influencia en los comportamientos temporales, climáticos, hídricos y de los hielos polares, así como la aceleración orbital terrestre. Garavito fue muy conservador a la hora de opinar sobre los conocimientos científicos; por ejemplo, se opuso a la teoría de la relatividad –apegado a la mecánica newtoniana–  o a las geometrías no euclidianas –las denominaba engendros que pueden llevar a la locura–. En 1970, la Unión Astronómica Internacional nombró en su honor uno de los cráteres lunares –en el lado oculto– situado al noroeste de la llanura de Poincaré y al oeste del cráter Chrétien. Cráter Garavito: en el extremo inferior, a la derecha Más información: Wikipedia Rodrigo Gallego F., Julio Garavito Armero, Gotas de tinta, 2010 Alfredo D. Bateman, Julio Garavito Armero, Sociedad Geográfica de Colombia José Eduardo Rueda Enciso, Julio Garavito Armero, Biblioteca Luis Ángel Arango Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Miércoles, 05 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

166. Tres ciudades andaluzas, vistas con ojos matemáticos

ABC, 3 de Enero de 2022 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 03 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

167. 167. ¿Conocen el binomio de Windsor?

Empecemos el año con buen humor, que falta nos hace. Hablemos en este caso de política educativa, recordando la que se satirizaba a finales de los años cuarenta. Lo malo es que comprobaremos que, aunque han pasado más de setenta años, hay “costumbres” que parecen fijas e inmutables. En fin, diviértanse, si pueden. El dicho popular dice que cada maestrillo tiene su librillo, frase que no es sino consecuencia de la experiencia que cada persona ha ido adquiriendo en sus quehaceres habituales, y que le ha proporcionado unas maneras y conocimientos con las que los afronta de un modo convincente y profesional (al menos para él). Los docentes tenemos evidentemente ese librillo a base de años de hacer bien las cosas y también de confundirnos, un punto fijo al que al final nos hemos ido aproximando y que ya variamos lo mínimo. Eso no está mal, aparentemente, si nuestros propósitos fueran moralmente irreprochables (aunque podamos estar equivocados, actuamos por convicción). Pero existe el caso, tan común a nuestro alrededor en las noticias diarias, de que el fin justifica los medios. O dicho de otra manera, en el beneficio propio, me cargo a quien y lo que sea. Luego, un par de golpes en el pecho y tres avemarías dispensan al sujeto (eso es lo que él cree, claro). Pero no es así. Afortunadamente, el pícaro trepa de la película de hoy no es tan repugnante. Es más, nos caerá bien incluso, porque no es sino un infeliz, que finalmente logra su objetivo a costa de los que siempre le han estado exprimiendo, y lo hará mostrando lo inútiles que en el fondo son. Vayamos con los datos de la película. Ficha Técnica: Título: El sistema Pelegrín. Nacionalidad: España, 1952. Dirección: Ignacio F. Iquino. Guion: Wenceslao Fernández Flórez, basado en su novela homónima. Fotografía: Pablo Ripoll, en B/N. Montaje: Juan Pallejá. Música: Augusto Algueró. Producción: Ignacio F. Iquino. Duración:  96 min. Ficha artística: Intérpretes: Fernando Fernán Gómez (Héctor Pelegrín), Isabel de Castro (Luisa), Sergio Orta (Don Carlos Martínez), Manuel Monroy (Moscoso), Luis Pérez de León (Ferrán), Rafael Luis Calvo (Bremón), José Ramón Giner (Gómez), José Calvo (Padre de Gelasio), Gerardo Esteban (Locutor), Carmen Valenzuela (Madre de Gelasio), Federico Górriz (Cobrador del autobús), Augusto Ordóñez (Padre de Jeromín), Ricardo Valor (Rómulo), María Zaldívar (Madre de Rosita), Mario de Bustos (Sr. Pons), Isabel Estorch (Rosita), Carmen Valor (Esposa de Rómulo), Matías Ferret (Alcalde), Jaime Planas (Manolo, el tabernero). Argumento (a grandes rasgos; o sea sin estropear la película): Héctor Pelegrín es un vendedor de seguros que no logra los resultados que sus jefes le exigen, por lo que es despedido. Su oficio le ha hecho ser un manipulador y un jeta de mucho cuidado. No le queda más remedio porque se ha quedado sin un duro. Por supuesto vive de la apariencia. Trata de entrevistarse con el director de una entidad bancaria, pero no logra su objetivo. En la terraza de un bar, Héctor, siempre pendiente de todo lo que ocurre a su alrededor, escuche a una pareja la siguiente conversación. La mujer está leyendo un diario, sección de ofertas de trabajo (pongo en color rojo aquello que tenga un atisbo de carácter matemático): Mujer (leyendo): Una lección de Aritmética. Dos horas diarias. Seiscientas pesetas al mes. Rómulo: Bah. No es ninguna ganga. Mujer: Pero tampoco te exige demasiado esfuerzo. ¿Qué tienes que hacer en esas dos horas? Afirmar que 2 y 2 son 4, y 5 por 3, 15. Y comprobar que unos cuantos chiquillos estén dispuestos a admitir esas verdades. Piensa que esas seiscientas pesetas son un alivio para el que no tiene ninguna. Rómulo: Puede que acepte. Quizá iré hoy mismo. Anotaré la dirección. Mujer: Es en el Gran Colegio. Rómulo: ¡Ah, pues vamos! Precisamente el director es gran amigo mio. Cuando se han ido, Héctor coge el periódico. En la siguiente escena, vemos un cartel que pone “Gran Colegio Ferrán”. En la siguiente escena, el director del centro está hablando con Rómulo. En ese momento, la puerta corredera de la estancia se abre bruscamente entrando Héctor, avasayando, como es habitual en él: Héctor: Sr. Director, vengo por lo del anuncio. ¡Los nobles fines de la enseñanza! Rómulo: Perdone. He llegado antes que usted y aún no terminó mi conferencia con este caballero (señalando al director). Héctor: Si se tratara de una cuestión de prioridad, mis derechos también serían inopinables. Pero es a la preparación de los hombres del mañana, es la ciencia representada por este venerable pedagogo, la que está interesada ahora. Rómulo: Yo traigo mis certificados y creo inútil dialogar con usted. Héctor: Y yo tengo la seguridad de ser apto para esta misión. El señor director no se arrepentirá de preferirme. No soy un Miguel de Cervantes, pero no me asusta una regla de tres, ni desconozco la existencia del binomio de Windsor. Director: ¿Cómo? Rómulo (con desdén): Habrá querido referirse al binomio de Newton. Héctor: ¡¡No, señor, sino a otro mucho más bueno!! Rómulo (pensativo): Me gustaría conocerlo. Héctor: ¡¡Lo que habría que enseñarle a usted!! Rómulo: Oiga, pero, ¿qué se ha creido? Director (templando ánimos): Moderemonos, señores, moderemonos. Héctor se queda entonces solo con el Director Director: Este caballero me ha parecido competente y además ha llegado antes que usted. Lo siento. Crea que lo siento. Héctor: Yo también. ¿A qué negarlo? Mi vocación irresistible es la enseñanza. Y esta ocasión, en este admirable colegio cuyo renombre se extiende por toda España, al lado de quien como usted supo crearlo. Director: No, en realidad fue mi tio Jerónimo Ferrán. Yo lo heredé de él hace seis meses. Tiene internos, tiene antigüedad, pero cualquier día lo vendo. Me falta la experiencia de mi tio, y luego, estimulados por su muerte, unos desertores de este colegio han fundado la Academia Enciclopédica. Francamente, es un rival de importancia. Claro que no se pueden comparar. Son una recua de asnos, pero economicamente temo que lleguen a dañarme, sí señor. Héctor: Sin cultura física no puede existir hoy un gran colegio. Usted suprime la Geometría, la Trigonometría, el Álgebra, y no pasa nada. A un perfecto caballero, jamás le harán falta las Matemáticas. Usted surpime el Griego y el Latín, y sus alumnos engordan. Pero la cultura física es esencial. Ella es la que forma al “gentleman”. Bendiga usted el día en que me ha encontrado, señor Ferrán. Yo soy el hombre que usted necesita. Porque si en algo he sobresalido, es en la enseñanza de los deportes, que pueden modelar, no sólo los cuerpos, sino las almas. Y ríase usted ya de la Academia Enciclopédica. Finalmente, consigue que le pongan al mando de una asignatura, la Educación Física. Los alumnos sin embargo son menos idiotas que todos los adultos que les rodean, aunque Héctor tampoco es tonto, por lo que en seguida se percata de que éstos pueden descubrirle, y tendrá que ir por delante de ellos. En sus clases trata de ir por delante, sorprendiendolos como puede. En sus peroratas, se va desgranando su “sistema”. En una de ellas: Héctor: Los rayos solares son riquísimos en vitaminas. Para nosotros lo más importantes es esto: la obtención de la fortaleza física necesaria para el estudio. Una humanidad débil no podría afrontar por ejemplo, las preocupaciones de la trigonometría. Héctor: Mientras que el campo de juego no esté dispuesto, quiero preparar a ustedes para que lleguen a ser buenos espectadores. Ser espectador es quizá la más alta condición deportiva. Ellos constituyen la atmósfera necesaria para que el deporte exista. Ellos animan a los jugadores hasta llevarlos a la victoria. Pienso yo que si los mirones conociesen bien sus deberes y desempeñasen bien su papel, los deportes ganarían mucho. Pero no se les educa para ello. Ignoran lo que tienen que hacer, gritan a destiempo, o no gritan nunca, o se levantan cuando no deben. Es preciso prepararse para ser espectador para cuando las ocupaciones o los años nos impidan la práctica activa del deporte. Comentarios Sin más que leer los diálogos anteriores, deducimos que para el amigo Héctor Pelegrín la enseñanza no es sino una posible tabla de salvación a su situación, pero que le importa bastante poco. Las escasas referencias a las matemáticas lo son desde un punto de vista humorístico y por supuesto nunca positivo, ya que se traen a colación siempre denotando algo difícil, complicado, que trae quebrantos más que satisfacción alguna. Y además, del todo inútiles (un perfecto “gentleman” no las necesita), salvo para aparentar y dejar en ridículo a un competidor (que nunca podrá estar seguro si de verdad existe ese nuevo binomio o no). El sistema Pelegrín, novela de un profesor de cultura física es una novela corta (248 páginas) cómica del escritor gallego Wenceslao Fernández Flórez publicada en el año 1949 por la Librería General de Zaragoza, y reimpresa por la misma editorial en 1955. Tiene lugar en una pequeña ciudad de la España de la posguerra. Aunque en la película, Héctor tiene el aspecto de Fernando Fernán Gómez, en la novela es un sujeto de corta estatura y largo bigote, lo que le hace más esperpéntico aún como profesor de gimnasia. Sus métodos son del todo singulares. Entre ellos se encuentra la "gimnasia moral y social", el "tenis cristiano" (en el que los competidores deben facilitarse mutuamente la devolución de la pelota). En otro hilarante momento de la película, manda llevar a cada alumno una moneda que tirarán al suelo. Luego con los ojos cerrados deben recoger cuantas más monedas puedan, sólo que él se hará, con los ojos abiertos, con la mayor parte de ellas. Su gran proyecto es la creación de un equipo de fútbol que prestigie al Ferrán frente a su competidor, la Academia Enciclopédica. Pero los alumnos no son muy buenos, así que convence al director del colegio de la necesidad de fichar a otros chavales, vayan o no al Colegio. Y por supuesto, dejando si es necesario en los mejores puestos a aquellos cuyos padres más puedan beneficiar con ingresos económicos al equipo, por muy negados que sean. Eso mismo hará el equipo rival. Sus disparatados métodos conseguirán enfrentar a los padres, a los colegios, y aún a la población entera, polarizada entre los partidarios de uno y de otro. El partido que enfrentrá a ambos equipos, en el que el propio Pelegrín actuará de árbitro, desembocará en el desastre. Observen en la imagen de equipo que el profesor tiene un jersey que le ha tejido su novia con las iniciales de su nombre, Héctor Pelegrín. Cuando se lo entregó, adivinen porqué no se lo quería poner, ja ja ja. La película, aproximadamente hasta la mitad, hasta el momento de preparar los equipos de fútbol, resulta curiosa, bien llevada, mordaz, interesante (mucho gracias a Fernando Fernán Gómez, porque el resto del elenco es más bien lamentable). Sin embargo, a partir de ahí, parece de otro director diferente, siendo intragable, cursi, absurda, inverosimil, lamentable. Quedan avisados. El autor Wenceslao Fernández Flórez (1885 – 1964) fue un escritor y periodista gallego bastante singular. Aunque aparentemente conservador, no se cortaba un pelo en criticar y poner de vuelta y media a quien fuera necesario, afín o no a su ideario personal (incluso se metió con la iglesia, los militares o la justicia del momento). Su familia y la de Franco eran amigas de antes de la guerra (ambas de El Ferrol), pero siempre estuvo mirado con cierto recelo (llega a escribir varios artículos críticos contra el gobierno de Franco, al que consta que no hicieron ninguna gracia). Su estilo es satírico, irónico y en sus novelas (unas cuarenta) se destila un mensaje de escepticismo, pesimista incluso, hacia un mundo que cambia sólo superficialmente, descuidando, según él, valores espirituales y morales permanentes. Sus personajes son bastante realistas y siempre andan entre la frustración y el fracaso. Su visión de la sociedad es siempre desencantada, aunque envuelta en lo humorístico. Fernández Florez ha sido un autor muy adaptado al cine. Por año de estreno: El malvado Carabel (tres versiones: Edgar Neville, 1935; Fernando Fernán Gómez, 1956; Rafael Baledón, 1962). Intriga (Antonio Román, 1942) El hombre que se quiso matar (Rafael Gil en dos ocasiones, en 1942 y en 1970) La casa de la lluvia (Antonio Román, 1943) Huella de luz (Rafael Gil, 1943) El destino se disculpa (José Luis Sáenz de Heredia, 1944) El bosque animado (tres versiones: José Neches, 1945; José Luis Cuerda, 1987; Ángel de la Cruz y Manolo Gómez, 2001). Ha entrado un ladrón (Ricardo Gascón, 1949) El sistema Pelegrín (Ignacio F. Iquino, 1952). Camarote de lujo (Rafael Gil, 1957) Los que no fuimos a la guerra (Julio Diamante, 1962), de la que hablamos en la reseña 134.- Mujeres, Matemáticas, España. ¿Por qué te engaña tu marido? (Manuel Summers, 1969) Cortometraje Fendetestas (Antonio Simón, 1975) Volvoreta (José Antonio Nieves Conde, 1976)

Martes, 04 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

168. 79. (Enero 2022) Los libros matemáticos de Frans Floris

(Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Geometría. Privada) Frans Floris de Vriendt (1519-1570) fue el pintor que introdujo el manierismo en Flandes tras su viaje de aprendizaje por Italia. La contemplación de los frescos  de Miguel Ángel en la Capilla Sixtina produce la conmoción que dará entrada a un nuevo estilo. Nos interesa Floris por sus representaciones impactantes de las disciplinas matemáticas y la influencia que tuvieron en la pintura posterior a través de los grabados. Nicolaes Jonghelinck, un adinerado comerciante, decidió construir en 1555 un nuevo palacete en Amberes y encarga a Floris las pinturas murales. Una de las salas sería mitológica, y otra se dedicaría al recogimiento y el estudio con la representación de las Artes Liberales. La decoración de los palacios con las ciencias era la costumbre de los poderosos del Renacimiento, tanto de la nobleza como de los ricos burgueses. Floris acomete el trabajo creando unos imágenes de gran personalidad. Las pinturas de las artes se han dispersado. La Alegoría de la Aritmética se puede ver en el Abu Dhabi pero las otras pertenecen a un coleccionista privado y solo se exhiben por cesión. Las imágenes de Floris tienen además un nuevo atractivo. Las alegorías llevaban sus símbolos y en algunos casos van acompañadas por un personaje histórico que las encarna. Rafael en la Escuela de Atenas se limita a los sabios. Floris añade matemáticos en los lomos de los libros. Se sabe que están presentes a través de sus textos. La Alegoría de la Aritmética en Abu Dhabi Desde el año 2017 se puede visitar el Louvre de Abu Dhabi, fruto de un acuerdo por treinta años entre los Emiratos y Francia. El edificio, que ocupa una isla, fue diseñado por Jean Nouvel, y lo más destacable es su osada cúpula de entramados periódicos, semiabierta y semicerrada. Nouvel fue el diseñador de la Torre Agbar de Barcelona y de la ampliación del Reina Sofía en Madrid. Destacamos una Alegoría de la Aritmética de nuestro Frans Floris de Vriendt, que quizá  no sea la original de la primera serie sino una copia posterior un poco más larga. (Frans Floris. Alegoría de la Aritmética. Abu Dhabi) La personificación de la Aritmética enseña el algoritmo de las cifras indias a un hombre y una mujer mientras un estudioso se concentra en un libro. La tablilla parece cubierta de cera, al modo clásico, para escribir en ella con un punzón y no al modo árabe con cálamo. (Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Aritmética) Unas monedas o fichas sirven a su vez de cuentas para el ábaco y mostrar la vertiente utilitaria del aprendizaje. Los dos libros del suelo son uno de Pitágoras, al que se atribuyen las tablas de operar, y otro de Abraham. El Abraham no parece ser el bíblico padre del judaísmo, aunque es posible por sus cuentas de los pocos justos, más bien podrían ser Abraham ben Ezra, nacido en Tudela o también Abraham Bar Hiyya “Savasorda”, ambos judíos, a caballo entre los siglos XI y XII, y formados en la taifa zaragozana de los Banu Hud, una corte que fue un efímero pero profundo emporio matemático. Ben Ezra fue el primer gran divulgador en territorio cristiano de las cifras indoarábigas y quizá sea el aludido por merecimiento. El éxito de la serie y su extensión se deben a los grabados contemporáneos del holandés Cornelis Cort (1533-1578). Puede apreciarse que el grabado es más corto que la pintura y más acorde con las otras alegorías conocidas. (Cornelis Cort. Alegoría de la Aritmética) La alegoría de la Geometría y sus libros La Geometría aparece enseñando su arte mediante un compás y un globo aunque otros instrumentos se encuentran en el suelo. Los alumnos son artesanos, ya no tiene nada que ver con la enseñanza medieval dirigida a los nobles. El pueblo llano se apropia del saber científico y las artes se democratizan. (Cornelis Cort. Alegoría de la Geometría) En los libros encontramos los nombres de Euclides, Ptolomeo y Arquitas. (Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Geometría) Euclides por sus Elementos ha sido el representante unánime e indiscutible de la geometría. A Ptolomeo es más habitual verlo acompañando a la Astronomía, pero aquí refuerza la idea de la dependencia de la ciencia de los astros de la geometría. Además Ptolomeo desarrolla la geografía y la óptica geométrica haciendo las medidas de la refracción de la luz. El llamado Problema de Alhacen es realmente el Problema de Ptolomeo resuelto por Alhacen con cónicas. Arquitas de Tarento fue contemporáneo de Platón. No es habitual incluirle en las alegorías. Como pitagórico se le atribuye influencia directa sobre Eudoxo de Gnido y sobre Euclides. Da nombre a la curva de intersección de un toro con un cilindro y que se utilizó para la resolución del problema de Delos, la duplicación del cubo. La alegoría de la Astronomía y sus libros La Astronomía se nos muestra coronada de estrellas, globo celeste, compás, báculo, con alas y vestida con un sol y una luna en el corpiño. En el suelo están los libros, un reloj solar y otro mecánico. (Frans Floris. Detalle de la Alegoría de la Astronomía) Los lomos de los libros citan a Pontano, Manilius, Higinio, Anaxímenes y Ptolomeo. Giovanni Pontano (1429-1503) fue poeta humanista neolatino que escribió una Urania y un Libro de los Meteoros, además tradujo el Tetrabiblos de Ptolomeo, un manual astrológico. Tiene un cráter lunar dedicado entre los de Sacrobosco, Gemma Frisius y Abenezra. Marco Manilius, del siglo I, fue autor del Astronomicon, un poema astronómico. Cayo Julio Higinio (64-17) escribió De Astronomica. Anaxímenes de Mileto (590-526) fue autor de una cosmología, terraplanista, y primero en divulgar el valor de la estrella polar para orientarse. (Frans Floris. Detalle inferior de la Alegoría de la Astronomía) Salvo Ptolomeo que era profundo conocedor y Anaxímenes del que se conocen sus obras por terceros, los otros tres eran divulgadores en verso al modo de los Fenómenos de Arato. (Cornelis Cort. Alegoría de la Astronomía) Una voluptuosa Alegoría de las Artes Liberales en Ponce Floris no se limitó a pintar las alegorías del palacio de Nicolaes Jonghelinck, también realizó otro conjunto muy distinto que se encuentra en el Museo de Arte de Ponce en Puerto Rico (Frans Floris. Despertar de las Artes. Museo de Arte. Ponce) Nos fijamos en un sugerente Despertar de las Artes: las artes duermen, se relajan, son perezosas y voluptuosas. Decía Thomas Mann en La Montaña Mágica que las matemáticas son un buen remedio contra la concupiscencia. Mann no debió haber visto este cuadro, como otro de Van Heere en Turín. Los atributos abandonados y la semidesnudez no nos permiten identificar cada arte. De espaldas en primer plano debemos tener a La Geometría, con globo, compás y regla. La Geometría debe estar apoyada en La Aritmética, a su derecha La Astronomía y a su izquierda La Música. La Geometría en una vidriera del Rijksmuseum de Ámsterdam Una bonita muestra de la extensión mediante la imprenta de los modelos diseñados por Floris y grabados por Cornelius Cort la encontraremos en el Rijksmuseum de Ámsterdam. (Frans Floris. Vidriera. Rijksmuseum de Ámsterdam) Los efectos sobre una vidriera son bastante espectaculares. El museo nos presenta la Geometría de Floris en un panel retro-iluminado rodeada de imágenes bíblicas y mitológicas. La verdadera extensión de las imágenes de Floris se producirán con Marten de Vos que las toma de forma casi idéntica pero al eliminar los personajes secundarios  facilita la dispersaron por toda Europa como hemos expuesto en otro lugar: La Geometría de Marten de Vos, la globalización iconográfica (instantánea 13).

Martes, 04 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

169. Enero 2022: Juegos con coordenadas (I)

1. Esas matemáticas cotidianas. Los que nos dedicamos a las matemáticas y, en especial, a su enseñanza, somos conscientes de que hay una parte de la población que siente un rechazo visceral hacia esa materia. Muchas veces esta animadversión se ha gestado en los años escolares, en los que la asignatura de las matemáticas resultó un amargo camino por el que transitar, posiblemente porque la enseñanza que recibieron de esa materia fue sesgada y no se les llegó a mostrar su belleza, su interés y su total aplicabilidad en nuestra vida cotidiana. Dado que su formación y aprendizaje en esa materia fue deficiente, hay personas que llegan a pensar que las matemáticas no sirven para nada, salvo quizás la parte aritmética para el manejo corriente de la economía doméstica. Lo curioso es que esas mismas personas utilizan habitualmente la geometría de la que vivimos rodeados, aplican aunque quizás de una forma intuitiva conceptos de azar, aún en el caso de no pararse a calcular probabilidades, aceptan la información mediante gráficas estadísticas que cada vez son más abundantes en los medios de comunicación. Basta pararse un momento a pensar y puede ser evidente que la construcción, las industrias, el diseño, las comunicaciones de todo tipo serían inviables sin las matemáticas. Hasta el punto, que el estado de alarma en que se escribe este artículo tiene una serie de medidas de prevención, que se basan en reglas matemáticas para afrontarlas, respecto a aforo de establecimientos, distancia entre personas, medidas de temperaturas, cuarentenas, etc… Un aspecto que suele pasar muy desaparecido es el relacionado con el tema que traemos hoy. Las coordenadas cartesianas. Si se pregunta a cualquier persona aislada de las matemáticas si en su vida cotidiana utilizan coordenadas, como las que vieron en los ejes que estudiaron en la escuela, la respuesta unánime sería que no, pero no tenemos más que expresar nuestro desacuerdo. Hay muchas situaciones en las que, aunque no seamos consciente de ello, trabajamos con algún tipo de coordenada. Por ejemplo, y evidente para los que nos dedicamos a la enseñanza, los pupitres en una clase están normalmente situados en filas y columnas, por lo que el alumnado se sienta llevando aparejado un par de coordenadas. De la misma manera, en algunas fábricas o empresas, los lugares donde trabajan los empleados también están asignados a filas y columnas de mesas de trabajo, basta fijarse en algunas noticias donde aparecen empresas textiles y se ven a los operarios colocados según un sistema de coordenadas. Pero aunque esto nos parezca un poco rebuscado, pensemos en cualquier conocido que vive en determinada calle y en un número, y dentro del edificio vive en el 4ºC, lo que no deja de ser unas coordenadas. Pero es que además nuestra butaca en cualquier teatro o cine también viene determinada por unas coordenadas. Y para no alargar el tema, sólo reseñar que hoy en día nos movemos con más soltura y facilidad gracias al GPS, que se basa fundamentalmente en las coordenadas. Los que enseñamos en niveles no universitarios, somos conscientes de que la representación en un sistema de coordenadas es fundamental para poder hacer representaciones gráficas, y también sabemos las dificultades con las que se encuentran muchos alumnos cuando se enfrentan por primera vez a la representación en un sistema de ejes, con las confusiones de ordenadas entre sí. Por ello, hay muchas actividades y juegos para practicar el aprendizaje de este concepto. El objetivo de este artículo es mostrar algunos de esos juegos, intentando seleccionar los que, a nuestro modesto entender, son menos usuales o conocidos de los que se encuentran normalmente en internet. La mayoría de estos juegos estarían englobados dentro de un bloque de lápiz y papel, pues suele ser manualmente como colocamos los puntos en los ejes. Algunos de ellos se podrían realizar directamente sobre una trama de puntos, pero en nuestro caso lo interesante no es el juego en sí, lo que deberemos procurar es que en todo momento los jugadores indiquen las coordenadas de los puntos que van colocando, pues eso es lo que va a reforzar la práctica con los ejes y sus coordenadas. Vamos pues a divertirnos y aprender jugando. 2. Pasatiempos con coordenadas. Vamos a comenzar con una actividad que siempre es gratificante, la resolución de un pasatiempo. Ya hemos incluido en otros artículos ejemplos de retos que aparecen en revistas o periódicos, y que tenían que ver con el tema tratado. Los que nos dedicamos a recopilar pasatiempos desde hace décadas, sabemos que no es normal encontrar pasatiempos relacionados con las gráficas y las funciones, pero a veces se encuentra alguna curiosidad. En primer lugar tenemos un pasatiempo que nos recuerda a los crucigramas y en el que hay que extraer una frase a partir de las coordenadas que nos dan, y que corresponden a unos ejes donde están situadas las letras que forman la frase. Es un pasatiempo encontrado en El Pequeño País, un suplemento que llevó el diario El País en su oferta de fin de semana entre 1981 y 2009, y que es un banco impresionante de pasatiempos matemáticos. Imagen 1: Suplemento El Pequeño País. El segundo, ya más dirigido a público adulto, pertenece a la revista QUO. Yo lo recogí de un suplemento de pasatiempos que salió con el número 77 de febrero de 2002 y que recogía pasatiempos aparecidos en los números anteriores. En él, el reto es encontrar cómo se asigna la información para asignar las coordenadas a cada una de las letras. Imagen 2: Revista QUO. 3. Dibujos en cuadrículas. Como actividades de acercamiento a la definición de ejes cartesianos, hay varias que se pueden utilizar para preparar ese nuevo concepto. Una manera corriente en la que nos encontramos con elementos que vienen determinados por dos datos, es en los crucigramas o en recuadros similares a los que hemos visto en el primer pasatiempo. Yo suelo comenzar trabajando con cuadros divididos en cuadrículas y que utilizan una estructura similar a lo anterior, aunque siempre me gusta que en ambos ejes aparezcan números, en lugar de letras en uno de ellos. Muchos sabemos la dificultad que entraña distinguir entre el punto (2, 4) y el (4, 2), cosa que no ocurre si los datos son (B, 4) y (D, 2), por ello siempre suelo trabajar con ambos ejes numéricos. El primer problema que se puede plantear es dibujar puntos en los ejes, y para ello lo mejor es dar una serie de coordenadas que den lugar a un dibujo reconocible. En internet es posible encontrar decenas de actividades en las que conseguir una figura más o menos reconocible, como alguna construcción geométrica o personajes como el Pato Donald o Astérix, incluso más recientes como Bob Esponja, los Minions o Picachui. 3.1. Figura con polígonos. Hace tiempo encontré una plantillaii en la que la variedad era que no se dibujaban puntos sino polígonos, aunque daba igual, pues el objetivo es colorear las piezas en el lugar correspondiente. Aunque en el original se utilizaban varios colores, yo lo prefiero sólo en blanco y negro. A continuación, podemos encontrar un ejemplo de esta actividad. Imagen 3: Dibujo en cuadrícula. Aunque no lo especifique la imagen, lo que debemos hacer es dibujar uno de los cuatro triángulos en las casillas correspondientes a las coordenadas que le acompañan. Entre las actividades que encontramos en la red, para trabajar con coordenadas, podemos hallar dos maneras de trabajar, una es la vista antes, dar una serie de coordenadas y dibujar los puntos, o en nuestro caso los triángulos, pero a mí siempre me gusta complementarlo con la otra opción, dar un dibujo ya hecho y extraer las coordenadas. Esto es muy frecuente en los retos para alumnos más pequeños, en los que se colocan en los puntos de la cuadrícula elementos reconocibles, como juguetes o frutas y se deben indicar las coordenadas. En la propuesta de la imagen 3 aparece un dibujo simétrico por lo que hay veces que se dibuja la misma pieza con coordenadas simétricas, como (1, 2) y (2, 1), aunque no siempre es así. De todos modos, me gusta intentar plantear figuras que no sean simétricas. En la siguiente imagen, el objetivo es sacar las coordenadas que corresponden a cada una de las cuatro piezas triangulares. Imagen 4: Extraer coordenadas de un dibujo. Para acabar este apartado hay otro modo en el que trabajo para extraer coordenadas de un dibujo, pero complicando un poco el trabajo. Les indico una figura que deben dibujar en unos ejes cartesianos, y después indicar las coordenadas de los puntos que forman los vértices de esa figura. Como ejemplo, se debe dibujar en el sistema de ejes cartesianos usual el tangram siguiente, y después escribir las coordenadas de los vértices de los polígonos. Imagen 5: Dibujar polígonos en los ejes. El alumno debe fijar el tangram en la cuadrícula, de forma que todos los puntos que son vértices de las piezas correspondan a coordenadas enteras. Se puede obviar esta regla, pero en ese caso se complica la solución, porque entonces los puntos pueden quedar en lugares más complicados de reconocer sus coordenadas. Si se quiere simplificar el proceso se les puede indicar que el lado del cuadrado grande debe ser 4 o múltiplo de 4, para que todo quede correcto. 3.2. Coordenadas y algo más. El dar una serie de pares coordenados y dibujar algo que sea reconocible, puede combinarse con trabajar otros conceptos matemáticos para repasar. Una actividad interesante es proponer a los alumnos que elijan tres puntos y que sobre ellos construyan un triángulo, de forma que se anoten un punto si el triángulo es escaleno y tres puntos si es isósceles. De la misma forma, colocan tres puntos y se anotan un punto si es acutángulo, dos si es obtusángulo y tres si es rectángulo. Según el nivel del alumno con el que se trabaje, hay una forma de complicar este sencillo ejercicio y es obligar a que los tres puntos que se eligen para hacer un triángulo no tengan, ninguno de ellos, ni la primera coordenada, ni la segunda iguales. De esta forma, dos puntos no pueden estar en la misma horizontal ni en la misma vertical, y hay que buscar con más cuidado los puntos. Hay otra actividad que me parece interesante. Se le pide al alumno que dibuje los puntos y las rectas que van de uno a otro de cada pareja y que se indican a continuación: (12, 0) a (3, 3); (3, 3) a (0, 12); (0, 0) a (12, 0); (0, 0) a (0, 12); (0, 0) a (8, 8); (6, 2) a (8, 8) y (2, 6) a (8, 8). Nos quedaría un dibujo como el que aparece en la imagen siguiente. Imagen 6: Dibujo antes de simetrías. El siguiente proceso es dibujar los puntos y las líneas correspondientes a las simétricas de las anteriores respecto al eje de abscisas, lo mismo respecto al eje de ordenadas y por último los simétricos respecto al origen, obteniéndose al final algo que se asemeja a la Rosa de los Vientosiii. Los alumnos deben anotar en su cuaderno las coordenadas de todos los puntos que vayan dibujando como simétricos de los dados por el profesor. Si una vez acabados de representar los nuevos puntos y unidos se colorean los triángulos alternos, queda un dibujo bastante aparente. Imagen 7: Rosa de los Vientos aproximada. 4. Recorre el laberinto. Uno de las primeras actividades que se pueden utilizar para manejar coordenadas de una forma diferente a las usuales es la de recorrer un laberinto. Al jugador se le entrega un laberinto similar al de la imagen, y se le pide que indique por cuáles puntos coordenados hay que pasar para recorrer el laberinto desde la entrada hasta la salida. Es decir, hay que comenzar en el punto (1, 0) y terminar en el (0, 7). Imagen 8: Tablero con la forma a capturar. Si se quiere indicar todos los puntos nos encontramos con 29 posiciones por las que se pasa, por lo que la resolución se hace un poco pesada. Lo usual es pedir que indiquen los puntos en que se debe de cambiar de dirección al moverse por el laberinto. De esa manera, desde el (1, 0) llegaríamos al (1, 3), después el (3, 3) y así sucesivamente. Es decir, mientras nos desplacemos en una línea recta sólo se indican el principio y final de esa línea. Se pueden tener varios laberintos preparados con mayor extensión y mayor grado de dificultad y los que acaben más rápidamente que hagan otras opciones. Aunque de entrada es un solitario, es decir, para que cada alumno trabaje con el tablero presentado, se puede convertir en un juego de parejas. En este caso se entrega a cada uno una cuadrícula y cada jugador se encarga de dibujar el laberinto que tendrá que resolver el contrario. En estos casos se encuentra uno con auténticos laberintos churriguerescos. El jugador que consigue resolver el laberinto propuesto, se anota tres puntos y se pueden proponer varios laberintos. El jugador que propone un laberinto debe tener la solución, es decir, la secuencia de puntos por los que se debe pasar. Si se comprueba que su solución es errónea se le penaliza con un punto. Hasta ahora hemos visto juegos que son básicamente solitarios, aunque puedan hacerlo entre varios alumnos. Vamos a pasar al apartado de juegos entre contrincantes. 5. Localiza la palabra. Hemos visto en el primer pasatiempo del artículo, una actividad en la que había que conseguir una palabra a partir de sus coordenadas. A partir de ese pasatiempo y de un tablero más completo localizado en internetiv, construí el siguiente juego para dos jugadores. Se juega con un tablero como el siguiente. Imagen 9: Tablero de Localiza la palabra. Las letras están colocadas aleatoriamente manteniendo la proporción con que aparecen en español las distintas letras. Hay algunas que no aparecen ya que su porcentaje es menor del 1% como son la k, la ñ, la x y la w. Y hay ocho letras que sólo aparecen una vez: f, g, h, j, q, v, y, z. La forma más simple de jugar es la siguiente: uno de los jugadores piensa una palabra, por ejemplo de cinco letras, y busca las coordenadas de las letras en el tablero. Le indica al contrario esas coordenadas y el contrario debe reconstruir la palabra. Si lo consigue se anota un punto, si no lo consigue el primer jugador, debe mostrar qué palabra era y si se ha equivocado el indicar las coordenadas de la palabra buscada (algo que no es raro al principio). Entonces se le anota un menos uno, es decir, se le quita un punto de los que consiga. Se puede jugar a un determinado tiempo o una determinada cantidad de jugadas, por ejemplo, cada jugador propone cinco palabras. Gana quien tenga al final más puntos, aunque lo normal es quedar en empate. Una forma de complicar el juego anterior, y que suele gustar a los alumnos es que al indicar las coordenadas de las letras no se obligue a que las coordenadas vayan ordenadas según las letras de la palabra, y de esa manera, puede darse el caso de que la ordenación de las letras dé lugar a distintas palabras. Por ejemplo, un jugador lanza la palabra con las coordenadas (0, 2), (7, 0), (1, 10), (8, 4) y (9, 6). Así obtenemos las letras D, N, A, O, S con lo que se pueden formar las palabras: danos, sonda, ondas, donas. El jugador que busca la palabra se anota un punto al escribir una palabra del idioma español formada con esas letras, y si coincide con la que había pensado el contrario se anota dos puntos más. Para ello puede presentar todas las palabras que pueda construir con esas letras, y si entre ellas está la propuesta se anota esos dos puntos extra. ¡Ojo! no se anota un punto por cada palabra, su puntuación es la jugada en un punto por mostrar una palabra válida en nuestro idioma, y dos más si esa palabra era la buscada, independientemente de la cantidad de palabras que muestre. Para que no haya posibilidad de engaño, quien lanza la palabra debe anotarla en su hoja para mostrarla posteriormente. Para no alargar la jugada, debe limitarse el tiempo en el que el jugador está buscando posibles palabras que se puedan formar con esas letras, por ejemplo, dos minutos a partir de que ha localizado las letras. Hay otro modo de jugar inverso al anterior que es más simple, pues uno de los dos jugadores no tiene porqué utilizar las coordenadas cartesianas siempre. El jugador que lanza la palabra simplemente dice una con una determinada cantidad de letras, por ejemplo, dice la palabra RENTA y el contrario debe indicar ordenadamente cinco pares de coordenadas que correspondan a esas letras, y se anota un punto si es correcto. Si la palabra tuviese letras repetidas, por ejemplo CASPA, las coordenadas de la letra A debe ser distintas en ambas casos, es decir, no se puede utilizar las mismas coordenadas estando la misma letra colocada en lugares distintos. Solo en el caso en que se utilice una letra repetida que sólo esté una vez en el tablero, por ejemplo VIVAS, entonces se pueden repetir las coordenadas de la V. En esta modalidad se debe fijar un tiempo límite, por ejemplo tres minutos, para localizar las coordenadas. Si no se ha logrado, pasado ese tiempo, el jugador que ha lanzado la palabra debe indicar las coordenadas de la palabra, y si no las encuentra se le penaliza con dos puntos. Por ejemplo, puede darse el caso de que un jugador diga la palabra CAÑOS que es imposible encontrar en el tablero ya que no hay ninguna ñ. En esta modalidad, los jugadores con más conocimiento del vocabulario pueden poner en apuros al contrario lanzando palabras en las que haya letras que sólo aparece una vez, como HOGAR, FEROZ o VORAZ. Hay una tercera modalidad de juego que he propuesto algunas veces. Siempre lo hago después de haber jugado como he explicado anteriormente, y suelo plantearlo para aquellas parejas que acaban más rápidamente el juego anterior. Durante un tiempo estipulado, por ejemplo cinco minutos, los jugadores intentan localizar la palabra más larga posible formada por letras que sean contiguas en vertical u horizontal sobre el tablero, es decir, las coordenadas ordenadas de las letras deben varias solamente en una de las dos coordenadas que será una unidad más o menos. Por ejemplo, la palabra ROTARE formada por las coordenadas (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 4) y (3,5). Una vez pasado el tiempo, los jugadores muestran, mediante sus coordenadas, cada uno la palabra más larga que hayan encontrado. Quien tenga la solución se anota tres puntos. Se puede dejar ahora dos o tres minutos para encontrar otra palabra, descartando las dos que se han encontrado antes y repetir el proceso las veces que los jugadores quieran, siempre dejando menos tiempo que los cinco minutos iniciales. Cuando terminen gana, como es lo normal, quien haya acumulado más puntos Una forma de presentar el juego, dado que el objetivo es trabajar con las coordenadas, es jugar de las distintas formas e ir acumulando puntos en cada partida, ganando al final el que haya conseguido más. Como dijimos al principio, en todos los casos si las coordenadas no son correctas se pierde el turno, o si es quien la ha propuesto se le ponen puntos negativos. 6. Ataque al fuerte. Posiblemente la actividad más extendida para trabajar lúdicamente las coordenadas cartesianas en clase, es el juego de los barquitos. Suponemos que es bastante conocido y además en la red se pueden encontrar, ya no decenas, si no cientos de páginas, en cualquier idioma, en donde se explica el juego e incluso se dan plantillas personalizadas para jugar en ellas. Por tanto, vamos a presentar aquí un juego no tan conocido. Hasta tal punto está poco extendido que no he conseguido encontrar ni una sola referencia en internet y sólo lo he encontrado referenciado en el libro de Jordi Deulofeu que está en las referencias. El profesor Deulofeu lo titula Fuertes y adjudica su creación en 1975 a Harry Wollerton, del que solo he encontrado otra referencia en un libro de Martin Gardner, indicando que presentó varios juegos en la revista británica mensual Games & Puzzles. Igual que el juego de los barcos, cada jugador dispone de dos cuadrículas de 10x10, una para colocar sus fuertes y otra para sus disparos. En esto se simula al otro juego, pero ahí se acaban las similitudes. Cada jugador coloca en su tablero tres fuertes. Los fuertes son cuadrículas de 3x3 que no pueden estar en contacto entre sí ni horizontal, ni vertical ni diagonalmente. En la casilla central de esa cuadrícula se coloca una F para indicar el cuartel general. Vemos un ejemplo de distribución de fuertes en la siguiente imagen. Imagen 10: Tablero de Ataque al fuerte. Los disparos también se realizan de distinta forma. Un jugador indica una casilla y una dirección, y el contrario les responde el número de casillas de fuertes que están en esa dirección, sin contar el número de fuertes que han sido tocados. Por ejemplo dispara indicando la casilla (10, 1) y la dirección Noroeste, a lo que el contrario, que tiene el tablero anterior, respondería 2, pues hay dos casillas en esa dirección donde hay partes de los fuertes. Si en la siguiente jugada dijera (4, 1) Norte, la respuesta sería 6. De forma alterna, los jugadores van lanzando disparos hasta que uno de ellos crea tener localizados los fuertes y, en lugar de lanzar un nuevo disparo, debe indicar las coordenadas de los cuarteles generales de los tres fuertes. Si los acierta los tres, gana la partida, en caso contrario pierde. Esa es la forma como lo plantea el profesor Deulofeu. Yo prefiero dar la posibilidad de que vayan descubriendo la zona central de los fuertes uno a uno. Es decir, en un determinado momento el jugador que cree conocer la disposición de un cuartel general indica su posición. Si falla, pierde el turno, si acierta puede hacer dos cosas, o arriesgarse a indicar otro cuartel general o lanzar otro disparo. Se continúa el juego hasta que uno de los jugadores ha descubierto todos los cuarteles generales del contrincante. 7. Juego de capturar las formas. Entre los juegos que son versiones adaptadas del juego de los barquitos, encontré uno en la página de mathwirev donde se encuentran varios recursos curiosos para trabajar coordenadas. Veamos una adaptación de ese juego. Se enfrentan dos jugadores cada uno de ellos con dos tableros como en los barquitos. En la imagen siguiente vemos un tablero con coordenadas desde -4 a 4 aunque se puede ampliar o, si se quiere, reducir solo al primer cuadrante. Uno de los tableros es para que el jugador dibuje su forma y los disparos del contrincante y el otro para colocar sus propios disparos, igual que en los barquitos. Cada jugador dibuja en su tablero una forma que debe ser un cuadrilátero pero que tenga alguna propiedad, es decir, puede ser: cuadrado, rectángulo, rombo, romboide o trapecio. En la imagen vemos dibujado un trapecio rectángulo. Imagen 11: Tablero con la forma a capturar. A continuación, cada jugador en su turno lanza un par de coordenadas y el contrario debe indicar si ese punto contiene un vértice, está en la línea de un lado, está dentro de la figura o fuera de la figura. Se continúa hasta que un jugador consigue localizar los cuatro vértices, en cuyo caso debe indicar qué tipo de cuadrilátero es. Si acierta los vértices se anota tres puntos y dos puntos más si dice el nombre correcto del cuadrilátero. Si se equivoca pierde el turno, y se continúa hasta conseguir localizar correctamente una de las formas. 8. Y todavía más. Como suele ocurrir cuando preparo un artículo para estas páginas, aparte de los juegos que he utilizado anteriormente suelo buscar documentación sobre juegos del mismo tipo. Y cuando me doy cuenta tengo más material del que tenía previsto, por lo que me quedo corto para abarcar todo lo que tengo guardado. Una vez más me ha ocurrido y por eso veremos un segundo artículo con juegos diversos de coordenadas, incluyendo algún juego en tres dimensiones. 9. Referencia. DEULOFEU, Jordi (2001): Una recreación matemática: historia, juegos y problemas. Planeta, Barcelona. Colección Planeta Prácticos.     Notas: [i] En el blog de Ana García Azcárate pueden encontrarse varias entradas para dibujar figuras mediante coordenadas, desde ejemplos simples como un monigote, hasta ejemplos más complicados como un zorro o el Picachu que hemos citado. https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2020/04/28/dibujar-picachu-con-coordenadas/ [ii] En la siguiente dirección hay varias plantillas para hacer dibujos de colores con este sistema. https://www.abcteach.com/documents/tulip-grid-coloring-24390 [iii] La idea para esta especie de Rosa de los Vientos la extraje de la siguiente dirección, en la que se dibuja completamente la estrella. http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/jmhergare/2019/11/23/coordenadas-cartesianas-matematicas/ [iv] Se puede adquirir un cuadernillo con el material en que se basa libremente el juego en la dirección: https://www.teacherspayteachers.com/Product/Coordinate-Geometry-Code-Busters-Coordinate-Plane-Math-Game-First-Quadrant-3544957 [v] La parte correspondiente a juegos con coordenadas es la siguiente: http://mathwire.com/geometry/coordgeom.html

Sábado, 01 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

170. Solución al desafío matemático de la Lotería de Navidad 2021: compartir es recíproco

El País, 21 de Diciembre de 2021 LOTERÍA DE NAVIDAD Adolfo Quirós

Martes, 21 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más