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Novedades editoriales/Novedades editoriales
Autor:Nerea Diez
Autor: José María Sorando Muzás Editorial: Catarata Año de Publicación: 2021 Nº de Hojas: 224 ISBN: 978-84-1352-249-4
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Novedades editoriales/Novedades editoriales
Autor:Nerea Diez
Autor: Vicente Meavilla Editorial: Guadalmazán Año de Publicación: 2021 Nº de Hojas: 240 ISBN: 978-84-17547387
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Publicaciones de divulgación/Libros de divulgación matemática
Categoría:
Historia de las matemáticas
Autores:
Brian Clegg y Oliver Pugh (ilustrador)
Editorial:
Tecnos. Colección Filosofía
Año de publicación:
2019
Nº de hojas:
192
ISBN:
978-84-309-7785-7
Traducción:
Lucas Álvarez Canga
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Publicaciones de divulgación/Libros de divulgación matemática
Categoría:
Divulgación matemática
Autor:
José María Sorando Muzás
Editorial:
Catarata. Colección Mayor
Año de publicación:
2021
Nº de hojas:
224
ISBN:
978-84-1352-249-4
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Publicaciones de divulgación/Libros de divulgación matemática
Categoría:
Sobre las matemáticas
Autor:
Cédric Villani
Editorial:
Catarata. Colección Mayor
Año de publicación:
2021
Nº de hojas:
240
ISBN:
978-84-1352-258-6
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Publicaciones de divulgación/Libros de divulgación matemática
Categoría:
Divulgación matemática
Autor:
Vicente Meavilla
Editorial:
Guadalmazán
Año de publicación:
2021
Nº de hojas:
240
ISBN:
978-84-17547387
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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
¿Quién recuerda el primer artículo que apareció en esta sección? Pues hoy ha tocado el turno de retomar el tema que allí se trató (en el improbable caso de que lo hayas olvidado, puedes repasarlo de nuevo). Diferentes aspectos relacionados con la paridad de los elementos de una matriz o de una cuadrícula —ya esté formada por símbolos, números o cartas— han sido utilizados de forma regular por los aficionados a la magia matemática. Es una tarea muy sencilla identificar las posiciones pares e impares en una fila pero no lo es tanto cuando hay varias filas y columnas involucradas. En matemáticas, para determinar si un determinado elemento de una matriz ocupa una posición par o impar se deben tener en cuenta cuál es la fila y la columna que ocupa: la suma de ambos valores es la que define la paridad de dicho elemento. Algunas propiedades elementales, pero no demasiado conocidas o convenientemente disimuladas, sobre el cambio de paridad de los elementos de la matriz cuando se intercambian algunas filas o columnas han permitido crear diversos juegos de magia matemática, como los incluidos en aquel primer artículo y los que citaremos a continuación. Pero, antes de eso, hablaremos de una personalidad muy destacada en el universo mágico.
Jim Steinmeyer, gran erudito, historiador de la magia (no hay que perderse su libro "Hiding the elephant: how magicians invented the impossible and learned to disappear") e imaginativo creador de ilusiones y efectos teatrales que han catapultado a la fama a personajes como Doug Henning, David Copperfield y otros, ha escrito (y sigue escribiendo) una colección de folletos dedicados a juegos de magia automática, muchos de ellos basados en propiedades matemáticas sencillas, con una denominación común: Impuzzibilities. Esta serie, cuyo primer número se publicó en 2002, ha tenido una continuidad muy notable gracias a la versatilidad de los juegos que se incluyen: Further Impuzzibilities (2006), Subsequent Impuzzibilities (2010), Ensuing Impuzzibilities (2013), Treacherous Impuzzibilities (2014), Devilish Impuzzibilities (2015), Unexpected Impuzzibilities (2017), Curious Impuzzibilities (2020) y Virtual Impuzzibilities (2020), por el momento. Toda la colección y el resto de su producción se puede adquirir a través de la editorial Hahne Books. Por cierto, ya hemos descrito algunos juegos de su primer libro en este rincón (por ejemplo, en el número 76 de octubre de 2010, en el número 83 de mayo de 2011, en el número 92 de marzo de 2012 o en el número 105 de mayo de 2013), lo que demuestra la estrecha relación de la magia y las matemáticas en toda la colección.
En el cuarto folleto de la colección, titulado "Ensuing impuzzibilities", el autor describe un juego que el mago japonés Kuniyasu Fujiwara (especialista en el desarrollo de la relación entre la magia y el origami) publicó por primera vez en el volumen 63 (mayo de 2000) de la revista Genii: the Conjurors' Magazine bajo el título Automatic Aces, basado en el principio de los dobleces pero bien disimulado durante su desarrollo. Por ser un juego automático, se puede realizar a distancia siguiendo la lista de instrucciones siguiente:
Busca los cuatro ases de la baraja y colócalos en una fila sobre la mesa, caras hacia arriba.
Coloca tres cartas sobre cada as, todas ellas con las caras hacia abajo.
Reúne los dos montones de la izquierda, mezcla el paquete de ocho cartas para perder los ases y deja sobre la mesa el nuevo montón. Realiza la misma operación con los dos montones de la derecha pero gira todo el paquete antes de dejarlo sobre la mesa.
Recoge la carta superior del paquete de la izquierda, coloca sobre ella la carta superior del paquete de la derecha, coloca sobre ambas la carta superior del paquete de la izquierda y así sucesivamente, para volver a juntar todas las cartas en un solo montón.
Reparte las cuatro primeras cartas sobre la mesa formando una fila, reparte las cuatro siguientes sobre las anteriores, una a una, y así sucesivamente hasta que hayas repartido cuatro manos de cuatro cartas.
Coloca las cuatro cartas del montón de la izquierda sobre el montón que está a su derecha pero girando el paquete como si fuera un libro (los bordes laterales actúan como una bisagra); realiza la misma operación con este nuevo montón y luego sobre el último, siempre girando todas las cartas como si fueran páginas de un libro.
Extiende todas las cartas: solo los ases están en un sentido, destacando así del resto.
El hecho de recoger las cartas plegando cada montón sobre el siguiente es el que permite recuperar los ases en sentido contrario al resto de las cartas. El principio matemático que explica este resultado se conoce como "principio de los dobleces" (basado a su vez en el principio de paridad), planteado por primera vez en el juego de magia que Martin Gardner publicó con el título de "Paradox Papers" en la revista The Pallbearers Review, en julio de 1971, y que reproducimos en estas imágenes.
No vamos a detallar el origen de este principio, que se remonta al menos al problema de determinar el número posible de dobleces que pueden realizarse en una tira de sellos, como planteó Henry Dudeney —considerado el mayor creador de rompecabezas británico por la calidad y cantidad de sus creaciones— en el libro de 1926 "Modern Puzzles and how to solve them" (disponible online en el portal Bodleian Libraries de la Universidad de Oxford) y republicado posteriormente en el libro "536 Puzzles and Curious Problems", editado por Martin Gardner en 1967. Al estudiar el problema, el propio Martin Gardner lo convirtió en el citado juego de magia, y posteriormente lo incluyó en la extensa recopilación "Martin Gardner Presents", publicado en 1993, y traducido por la editorial Páginas en 2019 en forma de trilogía: Matemagia, Cartomagia y Magia de Cerca.
A lo largo del tiempo, muchas mentes brillantes de la magia han elaborado ingeniosas adaptaciones y novedosas variantes basadas en el principio de los dobleces. Sólo destacaré dos de ellas: Quadraplex, de Nick Trost (descrito en el volumen 3 de su libro "Subtle Card Creations", 2011) y Degrees of Freedom, de John Bannon (de su libro "Dear Mr. Fantasy", 2004). Bueno, una más: en el libro "The Violet Book of Mentalism", Phil Goldstein publicó el juego titulado Kirigami donde aplica el mismo principio utilizando letras en lugar de cartas o números.
Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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Textos on-line/Publicaciones y catálogos
Autor:Francisco Haro Laguardia
2021: Sanidad Vegetal. Ver detalles del documento
Cada año, la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, convoca la celebración del día escolar de las Matemáticas. Se trata de que sea una celebración para los alumnos en las aulas, trabajando las matemáticas en torno a un tema, para lo cual edita un cuadernillo con actividades que llega a todos los socios de las Sociedades Federadas. A partir de ahora, y gracias a la FESPM, podéis disponer de estos cuadernillos en DivulgaMAT.
Se ha elegido el 12 de Mayo para celebrar el "día escolar de las matemáticas", por ser el día del nacimiento de Don Pedro Puig Adam.
Quisiéramos agradecer a la FESPM y a los autores de los cuadernillos que nos permitan acercar estos cuadernillos a toda la sociedad a través de este portal.
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Recursos/Juegos matemáticos
Autor:José Muñoz Santonja
Entramos en la última entrega, al menos de momento, de los juegos de cartas para practicar cálculo aritmético, utilizando una baraja de las usadas fuera de la escuela para los juegos sociales. En general son propuestas de juegos para Secundaria, bien primer o segundo ciclo. En esta ocasión vamos a comenzar a trabajar con fracciones y las operaciones aritméticas que no son las básicas y que se trabajan en este bloque.
1. La fracción como operador.
Es un juego para varios jugadores, hasta seis. Se utiliza una baraja con los valores del 1 al 9.
Antes de empezar se fija un número de tres cifras que será el valor base, por ejemplo, 420. El número lo pueden decidir entre los jugadores o ser el profesor el que indique el número con el que trabajar.
Tras barajar el mazo de cartas se entregan cuatro cartas a cada jugador.
Cada jugador debe construir una fracción con dos de sus cartas, que se multiplicará por el valor base fijado, y se hallará cuánto vale la fracción de esa cantidad. Es obligatorio que el resultado de la operación sea un número entero.
Todo jugador que escriba una fracción correcta, sea propia o impropia, que al multiplicarla por 420, o el valor que se decida, dé un número entero, se anota un punto. También se anota un punto más el que haya obtenido el menor valor resultante de la operación, y dos puntos más el que obtenga el mayor valor resultante.
Las cartas que se han usado para formar las fracciones se descartan en un mazo aparte. Si algún jugador no ha podido formar una fracción con la que multiplicar el valor base para obtener un entero, puede descartarse de dos de las cartas que tiene, las que él prefiera.
Del mazo original se entregan dos cartas más a cada jugador, de forma que vuelvan a tener cuatro cartas. Y se vuelve a repetir el proceso.
Se continúa el juego hasta que ya no quedan cartas en el mazo. Entonces se cuentan los puntos conseguidos y gana el jugador con más puntos.
Hay una alternativa a este juego, aunque de forma similar. En esta modalidad se deben tener una serie de tarjetas con números de tres cifras que serán los valores sobre los que operen las fracciones.
Se reparten todas las cartas entre los jugadores y se coloca el montón de tarjetas con números boca abajo sobre la mesa.
En cada jugada, se extrae una carta del mazo de valores y los jugadores deben construir, con dos de sus cartas, una fracción que multiplicar por ese valor, obteniendo un número entero.
Igual que en el caso anterior, todo el que pueda construir una fracción que al multiplicarla por el número fijado dé un entero, se anota un punto. Quien obtenga el mayor resultado entero dos puntos extras, y uno para el que consiga la menor fracción.
Una vez realizado el cálculo, se descarta el número utilizado y las cartas que se hayan usado. Se continúa el juego sacando otro número del mazo de valores y repitiendo el proceso mientras queden cartas en la mano de los jugadores, o números en el mazo de valores.
Como las cartas que se usan se van descartando, a la larga el juego se convierte en un juego de estrategia, pues hay que intentar quedarse con cartas que nos permitan hacer varias fracciones para operar con los números de tres cifras.
En el juego está implícito, aunque no se especifique, el trabajo con múltiplos y divisores, pues debemos construir siempre una fracción que, simplificada, tenga un denominador que sea divisor del valor con el que operar.
El mazo de valores por el que multiplicar puede proporcionarlo el profesor, aunque es más provechoso que cada alumno proponga uno o varios números de tres cifras para jugar. De esta manera aparecen los problemas con números escritos aleatoriamente y que pueden tener pocos divisores o hasta ser primos, con lo que sólo se pueden multiplicar por fracciones equivalentes a un número entero.
Al principio se planteó que se jugaran sólo con las cartas del 1 al 9. Se puede ampliar, si se quiere, a toda la baraja, tanto española como francesa. La cuestión es que es más difícil que las cartas 11 y/o 13 se puedan utilizar como denominador en una fracción como se busca.
2. Fracciones equivalentes.
Se juega con la baraja completa española de 48 cartas, o en su defecto con la francesa. Pueden jugar hasta cuatro jugadores. Se barajan las cartas y se colocan a la vista sobre la mesa seis de ellas, y se entregan cinco cartas a cada jugador.
Comenzando por el de la derecha que ha repartido, cada jugador en su turno comprueba si puede hacer una fracción con sus cartas, y otra con las cartas que están sobre la mesa de forma que sean fracciones equivalentes.
Si lo logra recoge las cuartas cartas y las acumula en un montón personal de descartes. A continuación toma del mazo dos cartas para las que tiene en la mano y repone dos cartas sobre la mesa, quedando la distribución como estaba antes de jugar. Entonces pasa el turno al siguiente jugador.
Si no logra formar fracciones equivalentes, pasa el turno.
El juego se continúa mientras queden cartas en el mazo.
Cada jugador se anota dos puntos cada vez que consigue formar dos fracciones equivalentes. Basta sumar las cartas del montón de descartes y dividir entre dos. Como es usual, gana el jugador que ha conseguido más puntos.
3. La fracción más cercana.
En el artículo anterior hablé de la página de Denise Garkins en la que existían muchos juegos a realizar con cartas corrientes. En su caso siempre se proponen con cartas de póker.
En esa página encontré hace tiempo el siguiente juegoi.
Juegan dos o tres jugadores, aunque en el artículo original si juegan tres o cuatro jugadores se necesitarían dos barajas, pero no lo creo necesario.
Se reparten cinco cartas a cada jugador y se plantean una serie de retos independientes.
En cada jugada, el jugador debe encontrar, entre sus cartas, dos que formen una fracción que sea lo más cercana posible al reto propuesto.
Los retos los fija el profesor antes de comenzar a jugar y puede variarlos según los grupos o el nivel de conocimientos del alumnado.
Ejemplo de retos son los siguientes:
Más cercano a cero.
Más cercano a uno.
Más cercano a ½.
Más cercano a dos.
Más cercano a ¾.
Más cercano a 1/3
En cada ronda se propone un reto y todos los jugadores muestran una fracción, el jugador que se acerca más al valor pedido se lleva todas las cartas que se han utilizado para proponer las fracciones. A continuación, se reponen las dos cartas utilizadas a cada jugador y se pasa a la siguiente ronda. Se continúa mientras queden retos o cartas en el mazo.
Al final gana quien ha recogido más cartas.
Tal como está planteado hasta el momento, tiene relación con el juego anterior, ya que bastaría en cada caso presentar una fracción equivalente al valor buscado, salvo en el cero, pero en la página de Denise Gaskins se impone que la fracción no puede ser equivalente o igual al valor propuesto, es decir, se obliga a que se busque una fracción distinta, pero lo más cercana posible al reto.
Los retos pueden estar prefijados desde el principio o irse construyendo a medida que se hace el juego. Por ejemplo, se lanzan dos dados y el primero sería el numerador y el segundo el denominador de una fracción que es a la que se debe acercar. Otra posibilidad es que uno de los jugadores que no haya ganado hasta el momento, sea quien proponga la fracción a conseguir en la siguiente ronda. Aunque el que proponga tenga una fracción cercana, no puede saber si algún otro jugador puede construir otra que sea aún más cercana.
4. Operaciones con fracciones.
Este juegoii lo encontré en la página de Ana García Azcárate. Se juega con una baraja francesa sin las figuras.
Se barajan las cartas y se coloca el mazo, boca abajo, en el centro de la mesa. También se coloca un tablero como el de la siguiente imagen.
Imagen 1: Tablero para el producto de fracciones.
Es un juego para dos o cuatro jugadores. Cada jugador en su turno, que comienza por el que ha barajado el mazo y en sentido antihorario, toma una carta del mazo y la coloca en una casilla del tablero. Cuando ya se han colocado las cuatro cartas, cada jugador debe hallar el resultado de multiplicar las dos fracciones.
Todo jugador que dé correcto el resultado se anota cinco puntos. Si además la fracción está totalmente simplificada, siempre que sea posible, se anota cinco puntos más.
Se separan las cartas que se han utilizado en esa operación y se vuelve a repetir el proceso tomando cuatro cartas del mazo colocadas sobre el tablero.
Cuando se han acabado las cartas, es decir, después de nueve jugadas, gana quien haya acumulado más puntos.
La versión que propone Ana es un poco diferente.
En esa opción cada jugador tiene delante un tablero como el de la imagen 1 y trabaja con sus propias fracciones.
Comienza el jugador a la derecha del que ha barajado, toma una carta del mazo y la coloca en su tablero, el jugador a su derecha toma otra carta y la coloca en su tablero, y así sucesivamente hasta que todos los jugadores han colocado cuatro cartas en su tablero.
En ese momento los jugadores deben hacer el cálculo y expresar el resultado simplificado del producto de sus fracciones.
La puntuación es la misma que en el caso anterior, pero se pueden dar puntos extras, por ejemplo 3 puntos, al jugador que ha obtenido la mayor fracción y otros tres al que ha obtenido menor fracción.
El juego termina después del número de jugadas que se haya estipulado al principio, por ejemplo diez.
En esta versión pueden jugar también tres o cinco jugadores, no es conveniente grupos de más de cinco jugadores.
Al acabar cada jugada, se recogen todas las cartas y el jugador a la derecha del que antes había barajado, es el que se encarga ahora de barajar el mazo.
Como es evidente, la operación a realizar se puede modificar según lo que se quiera practicar. Es decir podemos trabajar la división de las dos fracciones, pero también la suma o la resta.
Incluso se puede hacer de forma aleatoria. El mismo jugador que, en cada jugada, mezcla las cartas del mazo lanza un dado. Si sale 1 hay que realizar la suma, si sale un 2 la resta, con el 3 multiplicamos y para el 4 dejamos la división. Si el dado es de seis caras cuando sale un 5 o un 6 se vuelve a tirar.
5. Operaciones con potencias.
Esta es una adaptación de un juegoiii propuesto por Ana García Azcárate para repasar el producto y cociente de potencias.
Es un juego para varios jugadores y se trabaja con una baraja francesa sin figuras en la que las cartas rojas equivalen a números negativos y las negras a positivos.
Se barajan las cartas del mazo y se colocan boca abajo sobre la mesa. El mismo jugador que ha barajado extrae cuatro cartas del mazo y las muestra en la mesa.
Los valores obtenidos en las cuatro cartas serán los exponentes de cuatro potencias que corresponderán a la siguiente expresión. Es decir, a, b c y d son los valores que se han obtenido en las cartas.
Imagen 2: Operación con potencias.
Los jugadores pueden colocar en cada exponente el valor que quieran de los extraídos en las cartas, y después tienen que reducir la expresión a una sola potencia de exponente 2.
Todo jugador que realiza correctamente la operación se anota cinco puntos. El que obtiene la mayor potencia se adjudica cinco puntos más, y otros cinco el que obtiene el menos valor, siempre que jueguen más de tres jugadores.
Las cartas extraídas se desechan y se extraen otras cuatro, volviéndose a repetir el proceso. Después de cinco tandas gana el jugador que tenga más puntuación.
Este juego permite simplificar o complicar el desarrollo según el nivel donde queramos trabajar estos contenidos.
Tal como lo plantea Ana García en su propuesta, cada jugador saca dos cartas, la primera es el exponente del primer operador y el segundo el del siguiente operador. Se extrae también una tarjeta con operaciones, bien de multiplicación o división. Entonces el jugador opera 2carta1 con 2carta2 según la operación que haya obtenido. Anota la operación y el resultado en su cuaderno.
Por ejemplo, ha obtenido en la primera carta un -3 y en la segunda un -5 y la operación de división. Debe hacer la operación:
Imagen 3: Ejemplo de cálculo.
Al final, cuando todos los restantes jugadores hagan lo mismo, extrayendo cada uno sus cartas y su operación, gana el que ha obtenido una potencia mayor. Ese jugador se lleva todas las cartas que se han utilizado en esa mano.
Se repite el proceso, al menos cinco veces, y gana el jugador que al final tiene más cartas.
En su artículo, Ana García propone utilizar un conjunto de 12 tarjetas, seis con la operación producto y otras seis con la división. Yo prefiero utilizar una moneda o un dado y cada jugador, tras extraer las dos cartas lo lanza y si obtiene cara o par, debe hacer un producto y si obtiene cruz o impar debe dividir las dos potencias.
Para no aprovechar directamente el cálculo hecho por otro compañero en una ronda anterior, se pueden ir cambiando las bases de las potencias en cada jugada. Bien siguiendo un patrón o echando un dado y tomando el valor obtenido salvo el 1. Es posible que algún jugador observe la tónica del cálculo indistintamente de cuál sea la base, pero eso es señal de que ha aprendido como debe realizar el cálculo.
En la forma anterior de jugar se repasan los productos y divisiones de potencias de la misma base. Para añadir también el repaso de la potencia de la potencia, se pueden presentar el producto de potencias de distinta base no siendo esas bases números primos.
Por ejemplo, jugando como hemos visto en la primera versión que he propuesto del juego, podríamos sacar tres cartas y realizar la operación de la imagen 4, con la exigencia de que el resultado debe ser una potencia de base un número primo.
Imagen 4: Potencias de base un número no necesariamente primo.
Y ya puestos a complicar el cálculo se pueden utilizar números que haya que descomponer previamente, por ejemplo, extraer dos cartas de valores a y b y efectuar el producto o división de 12a · 18b. Dando el resultado como producto de dos potencias de base un número primo.
6. Potencias y raíces.
Antes hemos repasado el cálculo con potencias, pero se puede jugar repasando los valores aproximados de potencias y raíces con el siguiente juego.
Vamos a jugar con una baraja de cartas sin figuras, sólo las cartas del 1 al 9. Y necesitaremos un dado cúbico. Pueden jugar varios jugadores, por ejemplo cuatro.
Se barajan las cartas y se entregan cinco a cada jugador. Se lanza el dado y se obtiene un valor que será 4, 5 ó 6, y en el caso de salir un 1 se considerará un siete, en el 2 se considerará un ocho y en el 3 un nueve. También se puede extraer una carta de la baraja y mostrarla, siempre que sea mayor que 3.
Cada jugador debe elegir dos de sus cartas y construir un número de dos cifras que sea el cuadrado del valor obtenido. Todo jugador que lo consiga se anota tres puntos. Si nadie lo logra se anotará dos puntos el jugador cuyo número construido sea lo más cercano al cuadrado buscado, lo sea tanto por exceso como por defecto.
Se descartan las cartas que se han utilizado y se reparten dos a cada jugador para reponer las usadas en la mano anterior.
Cuando se acaban las cartas del mazo (antes del último reparto se muestra la carta que fijará el valor que hay que hallar al cuadrado), se acaba el juego y gana el jugador que haya conseguido más puntos.
De forma similar se puede jugar a la operación inversa.
Si juegan dos o tres jugadores se reparten ocho cartas a cada jugador, si son cuatro se reparten seis. Las cartas que quedan en el mazo se barajan y se extraen dos de ellas con las que se forma el número de dos cifras más grande posible. Cada jugador echa sobre la mesa una carta que sea la raíz cuadrada más cercana al número que se ha construido.
Para que no haya copias en el proceso, cada jugador coloca frente a él y boca abajo sobre la mesa, la carta que cree que es la raíz cuadrada más cercana. Una vez que están todas colocadas se les da la vuelta y se comprueba la solución.
Todos aquellos cuyo valor sea el más cercano a la raíz cuadrada del número obtenido en el mazo, se anota tres puntos.
Tras ello se descartan tanto las cartas que se han puesto sobre la mesa como las que se han sacado del mazo.
Se repite el proceso extrayendo otras dos cartas del mazo y volviendo a construir un número de dos cifras y buscando, cada jugador, entre las cartas que le queden en la mano, la más cercana a la raíz cuadrada.
Se continúa el juego hasta que se han realizado cinco rondas en cuyo caso termina la partida, y gana el jugador que haya acumulado más puntos.
No es raro que haya varios jugadores con la misma puntuación, entonces todos ellos son los ganadores.
7. Y hasta aquí ha dado de sí.
En estos tres artículos encadenados hemos pretendido mostrar una serie de juegos que se pueden jugar en el aula, utilizando barajas corrientes que suelen ser fáciles de conseguir, para que el profesor no tenga que entretenerse en construir material para una clase completa o comprar barajas especiales que suelen sobrepasar las capacidades económicas de los departamentos.
Muchos de los juegos son similares o se basan en principios y dinámicas muy similares, pero el objetivo no es usar todos los juegos el mismo curso ni con los mismos alumnos.
Es verdad que al alumnado suele resultarle atractivo el jugar con las cartas y muchas veces no reconocen que les estamos proponiendo una serie de ejercicios, que si estuviesen escritos en una página quizás ni siquiera los mirarían dos veces, pero también he reconocido en varias ocasiones que los recursos que se utilicen en clase deben ser variados para no perder efectividad al convertirse en rutinarios. Debemos alternar comentarios y lecturas de textos matemáticos, geometría dinámica, audiovisuales, material manipulable, juegos, puzles, etc…
Por ello, esta colección de juegos que he presentado es un banco de recursos para que cada profesor seleccione cuál cree que le conviene más al alumnado que tiene en su aula y, igual que he hecho yo en muchos de ellos, lo adapten a su situación concreta.
Si les sirve para que las clases sean más atractivas y hagan que el alumnado trabaje con más ganas y en mejores situaciones, habrá merecido la pena el trabajo dedicado a su escritura.
Notas:
[i] https://denisegaskins.com/2014/08/06/fraction-game-my-closest-neighbor/
[ii] https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2017/11/07/cartas-multiplicar-y-dividir-fracciones/
[iii] https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2019/06/11/cartas-para-las-operaciones-con-potencias/
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Recursos/Juegos matemáticos
Autor:José Muñoz Santonja
1. Los juegos de cartas y la enseñanza.
Uno de los juegos tradicionales más expandidos por todo el mundo es sin duda el juego de cartas. Aunque los especialistas no se ponen de acuerdo en cuando se inventaron estos juegos, casi todos lo sitúan en China, pues fue allí donde se inventó el papel. El problema es que, debido al propio material de su construcción y a lo efímero de su duración, no ha quedado constancia de ejemplos de juegos de cartas como de otros materiales como dados o dominós.
Se sitúa el siglo XIV como el momento en el que las cartas llegan a Europa, extendiéndose rápidamente por todo el continente y pasando a ser uno de los juegos más extendidos de todos los conocidos, seguramente por ser el más fácil de conseguir y más asequible de adquirir.
Según los entendidos, las cartas se extendieron rápidamente entre las clases más desfavorecidas y, en muchos casos, sirvieron como material de enseñanza para adquirir una serie de conocimientos, estrategias y actitudes que preparaban para la vida social posterior.
Dentro de los juegos de cartas se desarrollan una serie de hábitos que son utilizables en otras situaciones, como la memoria, la concentración, la iniciativa personal, la agilidad mental, la adaptación a unas normas, etc.
Esto es en general relacionándolo con cualquier disciplina, pero además en las matemáticas hay muchos aspectos del curriculum que, a veces sin ser conscientes, ponemos en circulación al jugar a las cartas. Aspectos como la ordenación, el cálculo mental, el recuento, cálculo empírico de posibilidades, relaciones y correspondencias, etc.
El juego de cartas es además uno de los que más fácilmente se puede adaptar a la situación que queremos mostrar o trabajar en ese momento. Desde pequeños, suele ser usual trabajar con barajas de cartas adaptadas a personajes o situaciones de actualidad. Así podemos encontrar en las casas con niños pequeños cartas de Peppa Pig, Frozen o Bob Esponja.
Esa versatilidad del material permite construir juegos de cartas para trabajar conceptos en el aula. Asignaturas como por ejemplo los idiomas, han utilizado desde hace tiempo cartas con contenidos para aprender y practicar conceptos de una forma lúdica.
En matemáticas también encontramos esa opción. Desde la década de los años ochenta del pasado siglo, grupos como el Cero de Valencia o el Azarquiel de Madrid han creado barajas para trabajar distintos contextos y contenidos, como potencias, fracciones, geometría, azar, etc.
En Internet es posible encontrar cientos de barajas adaptadas para poder practicar los elementos estudiados en clase. Ya en esta misma sección de juegos mostramos una, en un artículo aparecido en SUMA en 2011i.
Sin embargo, en este artículo voy a dar un enfoque distinto. La idea es mostrar actividades de matemáticas para repasar cálculo numérico utilizando una baraja corriente de cartas. Es decir, vamos a utilizar la baraja francesa de 52 cartas o las española de 48 (incluyendo 8 y 9).
Siempre que se utiliza algún tipo de juego como dados, ruletas, cartas, dominós, etc., para realizar ejercicios de cálculo con los resultados obtenidos, nos aporta a la actividad el aspecto lúdico que significa estar jugando con materiales conocidos fuera del aula, y por otro lado la aleatoriedad que significa que a cada alumno o en cada momento salen números que no siempre son los mismos. Esto implica que, a veces, el azar hace que alumnos que tienen más dificultad para realizar esos cálculos, puedan tener beneficio y puedan quedar por encima de otros alumnos, con más conocimientos pero menos suerte, lo que potencia la autoestima del jugador.
En todos los juegos siguientes vamos a trabajar con una baraja normal de la que nos podemos encontrar en casa o en cualquier centro de ocio, incluyendo residencias, centros de día y algunos bares.
Veremos un par de juegos tradicionales, de los que posiblemente algunos hayamos jugado con familiares y amigos, e incluiremos juegos ya creados para trabajar contenido matemático propiamente dicho.
2. La escoba.
Este es un juego muy conocido que se puede utilizar para potenciar el cálculo mental trabajando la suma de números naturales. No está muy claro el origen del juego pues hay quién considera que es un juego español y otros lo atribuyen a un origen italiano.
Aunque pueda parecer que no es una actividad “seria” para la clase, en una entrevista realizada en el periódico La Opinión, de La Coruña, al gran divulgador y especialista en Juegos Fernando Corbalán, el periodista entresacó para su titular precisamente la frase que más entendió de lo dicho por Fernando “Habría que enseñar Matemáticas con el juego de la escoba”ii.
En este juego pueden jugar de dos a cuatro jugadores, aunque a veces pueden llegar a jugar hasta seis, formando tres parejas. Lo normal es jugar con una baraja española de 40 cartas considerando que el valor de la sota es 8, el caballo nueve y el rey diez. Si disponemos de una baraja con 48 cartas, esas barajas que incluyen 8 y 9, podemos trabajar con todos los números y la sota, para tener las cartas del 1 al 10.
Aunque cuando se habla de un juego tradicional se suele encontrar leves discrepancias porque las normas varían de unas familias a otras, la dinámica del juego, que al menos se ha jugado siempre en mi casa, es la siguiente.
Uno de los jugadores baraja el mazo de cartas y coloca una serie de cartas sobre la mesa boca arriba. Lo normal es que sean cuatro cartas. Después entrega tres cartas a cada jugador. El jugador a la derecha de quien ha dado las cartas comienza el juego, y se sigue el orden en sentido antihorario.
Cada jugador, en su turno, intenta sumar quince con una carta que tenga en la mano y las cartas que necesite de las que hay a la vista sobre la mesa. Si lo consigue recoge las cartas que suman 15 y se anota una “escoba”. Si no puede, debe colocar una de sus cartas sobre la mesa.
Si algún jugador observa que con la carta que ha descartado el jugador podría haberse conseguido 15, grita “escoba” y recoge las cartas correspondientes añadiéndolas a su montón de recogida.
Si por casualidad, el que reparte, al colocar sobre la mesa las cuatro cartas descubiertas observa que suman 15 o múltiplo de 15, puede recoger las cartas y anotarse una carta por cada 15 puntos. En este caso, no se reponen las cartas descubiertas de la mesa, por lo que el primer jugador no tiene otro remedio que lanzar una de sus cartas sobre la mesa.
Una vez que los jugadores se han quedado sin cartas en la mano, lógicamente tras tres turnos, el jugador que comenzó esa ronda toma el mazo y reparte otras tres cartas a cada jugador, y se realiza otra ronda comenzando por el jugador a la derecha del que acaba de repartir. Se continúa jugando de esa manera hasta que se acaban las cartas del mazo.
Si al repartir las cartas a los jugadores no quedasen cartas bastantes para un nuevo reparto, hay dos maneras de jugar, en una de ellas se reparten una o dos a cada jugador, si es posible, tanto en ese caso como si no hay bastantes para repartir, las sobrantes se echan también sobre la mesa.
Al final, gana el jugador que ha conseguido más escobas, es decir, ha conseguido sumar más veces el valor 15. Si hay dos jugadores con el mismo número de escobas, entonces gana el que haya conseguido más cartas.
Esta es la forma más simple de jugar, aunque las reglas no son las precisas de este juego. En el juego oficial, sólo se consigue “escoba” cuando se suman 15 con nuestra carta y todas las cartas que quedan sobre la mesa, dejando así la mesa libre para el contrario. Después se añaden una serie de puntos que se van acumulando: un punto por cada escoba, uno por tener el siete de oros, uno por tener mayoría de cartas, otro por tener mayoría de oros, etc. Sin embargo, para trabajar en clase, y dado que el objetivo es sumar 15, siempre me ha parecido mejor la opción que he detallado. En el aula mientras menos reglas se planteen y más simple es el juego mejor quedará.
Aunque la he utilizado menos, existe otra versión que se llama contraescoba que consiste en que gana el que tenga menor cantidad de puntos. Para ello, el jugador debe lanzar una carta sobre la mesa de forma que no sume 15 con ninguna de las que hay, cosa al principio fácil, pero al ir acumulándose cartas sobre la mesa es prácticamente imposible. En este juego si se tienen en cuenta las otras reglas para conseguir puntos y así, si un jugador consigue obligatoriamente 15 con las cartas que le quedan, intenta conseguir menos cartas, que no sean de oros, que no hayan sietes, etc.
Las reglas del juego, una vez conocida la dinámica, pueden cambiarse a gusto del profesor. Se pueden jugar, si se tiene la baraja con 8 y 9, con los números del 1 al 12 y variar el número a conseguir, por ejemplo 20 en lugar de 15. También se puede jugar con una baraja francesa, en cuyo caso podemos llegar a trabajar hasta el número 13 asignando 11 al valet o sirviente (J), 12 a la dama (Q) y 13 al rey (K).
3. Sumar 15.
Basada en el conocido juego anterior, hay otras versiones que se pueden jugar con el mismo objetivo.
Jugaremos con una baraja española con 48 cartas (incluyendo 8 y 9). Pueden jugar de dos a cuatro jugadores o incluso seis.
Se reparten todas las cartas a los jugadores. El primer jugador lanza una carta sobre la mesa y pasa el turno. A partir de él, cada jugador en su turno, intenta conseguir 15 con la carta que hay sobre la mesa y las cartas que necesite de las que tiene en la mano. Si lo consigue retira las cartas con que ha conseguido 15 y las coloca en un montón frente a él. A continuación coloca una de las cartas, que le queda en la mano, sobre la mesa y pasa el turno. Si un jugador no puede en su turno sumar quince con la carta que está sobre la mesa y las que tiene en la mano, pasa el turno.
El juego sigue hasta que uno de los jugadores se queda sin cartas y es el ganador.
Otra opción es continuar el juego los jugadores que aún tienen cartas y cuando ya no se pueda sumar 15, gana el jugador que ha retirado más cartas en su montón personal.
Como en el caso anterior, podemos modificar la cantidad de cartas con las que se juega, por ejemplo sólo del 1 al 10 de la baraja francesa y reduciendo o ampliando el valor que se debe obtener en la suma. Como el objetivo es practicar el cálculo mental de sumas se pueden modificar los parámetros cada vez que se termine una partida.
En el artículo, que figura en la bibliografía, del profesor José Ramón Gregorio Guirles, se plantean una serie de juegos para trabajar las sumas en primaria. Muchos de esos juegos se basan en la filosofía del Algoritmo ABN (Aprendizaje Basado en Números o algoritmo Abierto Basado en Números) una manera de realizar operaciones básicas trabajando con los números más que con las cifras como los algoritmos tradicionalesiii. Dentro de esos algoritmos se suelen incluir lo que se conoce como “Los amigos de…” en el que dado un número se busca otro con el que sumen una determinada cantidad. En su propuesta se utilizan cartas especiales con números, aquí veremos algunos de esos juegos adaptados para trabajar con barajas corrientes. En el artículo se habla de barajas con valores hasta el 10.000 según la cantidad de cifras que se quieren practicar.
4. Conseguir 14.
Este juego está dirigido a repasar las sumas y consiste en que conociendo el valor de una carta, que tiene en la mano, debe buscar otra carta con la que sume 14.
Se toman dos palos de la baraja francesa en la que consideramos, como antes, que la J vale 11, la Q 12 y la K 13.
Se coloca sobre la mesa uno de los palos ordenado de menor a mayor y el otro palo se baraja y se coloca como un montón boca abajo. Cada jugador, en su turno, toma una carta del mazo y busca sobre la mesa cuál es “su amigo” del 14, es decir, con qué carta de las que están a la vista suma 14 y retira las dos cartas del juego. Si por casualidad un jugador no lo encuentra y otro de los jugadores sabe cuál es la pareja, la dice en voz alta y él se lleva la pareja de cartas. Se termina el juego cuando se acaban las cartas, y gana quien tenga más cartas, aunque lo normal es que todos tengan la misma cantidad.
Este juego se puede jugar desde dos hasta cuatro jugadores, aunque para que ningún jugador tenga ventaja, se puede jugar con dos palos completos de la baraja española y hay que conseguir sumar 13.
El profesor Gregorio lo plantea en su artículo como solitario, pero yo lo prefiero como competición, ya que todos los jugadores suelen estar pendientes de lo que hace el que ha sacado la carta, por si no consigue encontrar la pareja.
También puede adaptarse a cantidades más pequeñas. Tal como se plantea en el artículo la suma es 10 y se utilizan las cartas del 1 al 9, pudiendo utilizar las de una baraja española.
Otra forma que se plantea es una especie de Memory numérico. Se barajan dos palos completos de la baraja francesa y se colocan boca abajo sobre la mesa. Cada jugador en su turno levanta dos cartas cualesquiera y si suman 14 se queda con ellas. Vuelve a probar con otras dos cartas. Si las dos cartas levantadas no suman 14, se vuelven a colocar en su mismo sitio, boca abajo, y pasa el turno al siguiente jugador.
Al final gana el jugador que ha conseguido más cartas.
5. El resultado es…
Este es un juego para tres jugadores. En cada jugada uno hace de juez y los otros dos se enfrentan entre sí. Lo mejor es jugar con una baraja española completa, es decir 48 cartas.
Se barajan las cartas y se reparten a los tres jugadores que las colocan en un mazo boca abajo delante de ellos. Lo normal es que quien ha repartido sea el primero que hace de juez y en cada jugada se va cambiando ese papel.
En la jugada, los dos jugadores que se enfrentan levantan una carta de su mazo, miran qué número han obtenido y se la muestran al juez sin que la vea el oponente. El juez suma los dos valores e indica cuál es el valor de la suma. El primero de los dos jugadores que adivina la carta del contrario gana esa ronda y se queda con las dos cartas.
Al final gana quién tiene más cartas.
Si se parte de que todos tienen 16 cartas, el proceso de cartas en las primeras rondas son: 16 16 16; 16 15 15; 15 15 14; 14 14 14. Es decir, después de tres rondas cada jugador tiene dos cartas menos, por lo que se puede llegar al final a que todos se queden sin cartas después de 24 rondas.
Suele ser corriente que los dos jugadores griten al unísono la carta del contrario, por lo que el juez puede decidir que, si lo han dicho a la vez, cada uno recibe una de las cartas en litigio.
A veces ocurre que el juez se confunde al sumar. Si se descubre este hecho, algo evidente cuando los jugadores no aciertan la carta del contrario, entonces el juez entrega una de las cartas, que haya conseguido en rondas anteriores, a cada jugador que se queda además con la que había utilizado en ese lance.
Esta dinámica de juego puede aplicarse a otras operaciones. Es decir puede servir para repasar la multiplicación, en cuyo caso es conveniente trabajar sólo con las cartas del 1 al 9, es decir 36 cartas a repartir.
El proceso es exactamente el mismo.
Incluso podemos trabajar la resta, pero en este caso nos encontramos con una dificultad añadida. El juez siempre va a restar al número más grande el más pequeño, por lo que a veces nos podemos encontrar con dos soluciones posibles, por ejemplo, un jugador tiene un 5 y el juez dice que la resta es 4 puede ser que el contrario tenga un 9 o un 1, por lo que no es posible adivinar exactamente cuál es la carta del contrario, aunque él si pueda adivinar la nuestra. Como la situación puede repetirse en ambos sentidos lo usual es que si uno lo acierta y el otro no, el que lo acierta se lleva las cartas. Si ninguno de los dos acierta la carta del contrario lo que se suele hacer es que cada jugador mete la carta dentro del mazo que le queda sobre la mesa, siempre en medio no debajo, y se vuelve a realizar la jugada.
6. 20 para línea.
Lo usual es que jueguen entre dos y cuatro jugadores. Vamos a trabajar con una baraja española completa, con 48 cartas, y necesitaremos el tablero siguiente donde iremos colocando las cartas.
Imagen 1: Tablero para 20 en línea.
A cada jugador se le reparten tres, cuatro o cinco cartas, según se acuerde al principio. Mientras más cartas en la mano más posibilidades hay de conseguir línea. Las restantes se dejan como un mazo boca abajo sobre la mesa.
El jugador, en su turno, coloca una de sus cartas en el tablero. Si al colocar, con otras colocadas anteriormente, en vertical, horizontal o diagonal las tres cartas suman 20, el jugador recoge las tres cartas en línea y las reserva en un montón propio. Tanto si hace línea como si no, recoge una carta del mazo para sustituir a la que había puesto sobre el tablero.
Se continúa el juego hasta que se acaban las cartas del mazo y las que se tienen en la mano sin conseguir hacer más líneas que sumen 20.
Gana, como es usual, el jugador que ha recogido más cartas en su montón personal de cartas.
No es raro que en este juego llegue un momento en que el tablero se llene de cartas sin que en ninguna línea las cartas sumen 20. Se puede considerar que entonces acaba la partida o bien, se recogen las 9 cartas del tablero, se mezclan con las que queden en el mazo, se barajan y se vuelve a comenzar con el tablero vacío.
En la propuesta original del profesor Gregorio, sólo se trabajan con cartas del 1 al 6 y hay que conseguir 10, es decir, el juego se puede adaptar al alumnado según las tablas que queramos que repasen y el nivel de ese alumnado.
7. El árbol del 20.
Este juego necesita una baraja de cartas española de 48 cartas y seis fichas de color diferente para cada jugador. Pueden jugar de dos a cuatro jugadores. Lo he encontrado en la red con el nombre del “Juego del veinte veinte”.
La dinámica es muy simple. A cada jugador se le entregan cinco cartas y el resto se coloca boca abajo en un mazo sobre la mesa. Comienza a jugar el jugador sentado a la derecha de quien ha repartido las cartas y coloca una de sus cartas sobre la mesa.
Cada jugador, en su turno, debe colocar una de sus cartas sobre la mesa pero siempre al lado de alguna de las que ya estuvieran puestas. Se puede colocar en horizontal o vertical, con lo que la colocación se ramifica como las ramas de un árbol.
En todos los casos, siempre que se coloca una carta sobre la mesa se toma otra del montón para reponerla.
Si cuando el jugador coloca su carta, consigue sumar 20 con las cartas que están en la misma fila o columna, entonces cierra esa rama colocando al principio y al final una de sus fichas y nadie puede ya colocar fichas en esa línea, aunque si perpendicularmente a las cartas colocadas en ella.
Gana el primer jugador que consigue colocar sus fichas, es decir, que consigue tres veces 20 con la suma de las cartas.
Imagen 2: Partida incompleta del árbol del 20.
8. La carta capturada.
Este juego es una adaptación a cartas del juego llamado Casillas de verificación que he encontrado en un taller de juegos que desarrolló el Ayuntamiento de Aspe con motivo del año 2000.
Está planteado para dos jugadores que juegan con una baraja francesa sin las figuras. Cada jugador recibe 5 fichas de colores diferentes para cada jugador. Se forman dos mazos, uno con las cartas rojas y otro con las cartas negras y se entrega uno de los mazos a cada jugador.
Se barajan las cartas, se colocan boca abajo sobre la mesa. Cada jugador toma 5 cartas de su mazo y comienza la partida. El primer jugador coloca una carta cualquiera sobre la mesa y a partir de él cada jugador en su turno debe colocar una de sus cartas al lado de la carta del contrario.
A lo largo del juego, se irá formando una línea de cartas que tendrá alternadas las cartas de colores. El jugador siempre debe poner una carta junto a una del contrario, pero si es posible puede colocarla en cualquiera de los extremos de la línea.
Si cuando un jugador coloca una carta, una carta del contrario se encuentra entre esa carta recién puesta y otra del mismo jugador de forma que la carta del contrario es la suma de las dos que la rodean, entonces la carta del contrario es capturada. Para ello, el jugador coloca una de sus fichas sobre ella. Lo haya conseguido o no, tras poner la carta sobre la mesa, el turno pasa al contrario.
En la imagen siguiente vemos varios ejemplos de cartas capturadas en el desarrollo de una partida.
Imagen 3: Partida de La carta capturada en proceso.
Cuando se acaban las cartas que tienen en la mano se vuelven a tomar otras cinco del mazo personal y se continúa el juego.
Se continúa el juego hasta que un jugador se queda sin fichas, es decir, consigue capturar cinco cartas del contrario. Si se acaban los mazos de cartas y ninguno ha conseguido capturar cinco fichas del contrario, entonces gana quien haya capturado más cartas del oponente.
Normalmente se impone la regla de que una carta capturada no puede servir para capturar una del contrario. Según el nivel en el que se juegue se puedo obviar esta regla para que resulte más fácil la captura.
Este planteamiento sería el comienzo del juego para acostumbrarse a la dinámica del juego. Lo normal es que se capture la ficha del contrario tanto si es la suma como la resta de las dos cartas que la rodean.
9. Y esto es solo el principio.
Hay tal cantidad de juegos matemáticos, utilizando una baraja normal de cartas, que en este artículo solo hemos arañado la superficie. Por ello, amenazamos con escribir más partes.
En este primer artículo hemos puesto juegos sencillos de practicar operaciones básicas de sumas, restas y productos. En el siguiente ampliaremos más el enfoque, comenzaremos con juegos simples de ordenación para pasar después a jerarquía de operaciones, números enteros, que aquí sólo hemos visto de pasada y manejo de fracciones.
10. Referencias bibliográficas.
GREGORIO GUIRLES, J.R. (2005): “Los juegos en matemáticas”. SIGMA nº 26, pp. 7–18.
http://www.euskadi.eus/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_26/2_juegos_matematicas.pdf Consultado el 8 de mayo de 2020.
EL JUEGO DEL VEINTE - VEINTE. Encontrado en el blog tallergusmate.
http://tallergusmate.blogspot.com/p/los-juegos-de-mquedo.html Consultado el 8 de mayo de 2020.
VV.AA. (2000): Talleres y juegos matemáticos. Consejalías de Cultura y Educación del Excelentísimo Ayuntamiento de Aspe.
https://www.orientacionandujar.es/wp-content/uploads/2015/02/Completo-taller-de-juegos-matem%C3%A1ticos-para-Infantil-y-Primaria.pdf Consultado el 8 de mayo de 2020
Notas:
[i] Se puede consultar el artículo en la página de divulgamat en la siguiente dirección
https://www.divulgamat.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=15661:diciembre-2013-baraja-de-funciones-publicado-en-la-revista-suma-no-68-2011&catid=77:juegos-matemcos&directory=67
[ii] https://www.laopinioncoruna.es/sociedad/2011/02/25/fernando-corbalan-habriaensenar-matematicas-juego-escoba/471111.html
[iii] http://algoritmosabn.blogspot.com/
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