311. 193. (Mayo 2021) Combinatoria con cartas

La especialidad matemática llamada Combinatoria (que ya se ha asomado a este rincón en el número 159 de abril de 2018) tiene como punto de partida el desarrollo de técnicas eficientes para contar el número de elementos de un conjunto. Esto es fácil de hacer con los dedos si los conjuntos son pequeños pero muchos problemas interesantes, tanto de matemática "recreativa" como de matemática "seria", tratan con conjuntos muy grandes y no tan fáciles de identificar. Un par de ejemplos, uno fácil y uno difícil: ¿cuántos números menores de un millón son capicúas?; ¿cúantos números menores de un millón se pueden descomponer como suma de números consecutivos? Si eres asiduo a este rincón, ya sabrás que se pueden plantear muchos problemas de Combinatoria con una simple baraja de cartas, desde los clásicos ¿cuántas posibles ordenaciones pueden presentarse en una baraja? o ¿cuántas ordenaciones de una baraja hacen que los colores de las cartas estén alternados?, hasta los más elaborados, algunos de los cuales veremos a continuación. Por cierto, la imagen que encabeza el artículo corresponde a una solución de otro problema clásico ya que muestra una posible disposición de las 16 figuras de una baraja (incluyendo los ases) en forma de cuadrado greco-latino: no hay dos cartas del mismo palo ni del mismo valor en ninguna fila, ninguna columna y ninguna diagonal. ¿Cuántas posibles soluciones tiene este problema? En el artículo titulado "Impressions of Conway" (publicado en la revista The Sciences en 1994), el matemático y periodista científico Charles Seife observa que el famoso matemático (fallecido en 2020) John Horton Conway disfrutaba realizando ante sus allegados el siguiente juego (en cuya traducción he tenido que introducir algunas modificaciones obvias): John saca una baraja de su estuche y va pasando cartas de arriba abajo, una a una, mientras deletrea la palabra A-S (una carta por cada letra). Gira la siguiente carta y resulta que es un as. Deletrea a continuación la palabra D-O-S pasando nuevamente una carta de arriba abajo por cada letra. Al girar la siguiente carta, se trata de un dos. Entrega la baraja a su colega y le pregunta: ¿quieres probar? El colega deletrea la palabra T-R-E-S pero, al girar la siguiente carta, es un comodín. ¡No!, exclama John. Le arrebata la baraja y deletrea T-R-E-S y gira la siguiente carta: es un tres. Vuelve a pasar la baraja a su interlocutor y este deletrea la palabra C-U-A-T-R-O. De nuevo, la siguiente carta es un comodín. El juego continúa de la misma forma, la víctima siempre vuelve un comodín y John siempre vuelve la carta correcta. Por último, John recoge todas las cartas, las ordena adecuadamente y las guarda en el estuche, preparadas para el siguiente voluntario inocente. Seguro que no necesitas mi ayuda para descubrir el orden inicial de las cartas con las que conseguir este efecto. Por si acaso, te doy aquí una posible solución y algunas variantes. Parece que Alexander Kraus es el autor de este otro deletreo numérico, bastante impactante si se realiza con suficiente destreza: Busca una baraja y ordena todas las cartas como se indica en las figuras: ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ Gira la primera carta y déjala sobre la mesa: As de Picas. Gira la siguiente y déjala sobre la mesa: Dos de Picas. Como es un dos, pasa una carta de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Tres de Picas. Como es un 3, pasa dos cartas de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Cuatro de Picas. Como es un 4, pasa tres cartas de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Cinco de Picas. Repite la misma operación, pasando tantas cartas de arriba abajo como el valor de la última carta girada, excepto la última, que se gira y se deja sobre la mesa. Así irán apareciendo todas las cartas, en orden, de los palos de picas, corazones y rombos. Por último, gira todas las cartas de la mano y aparecen en orden todas las cartas del palo de tréboles. Ya que citamos a Alexander Kraus, comentaremos el juego titulado «Sum total» que publicó como problema en el número 12 de la revista de magia Ibidem, en diciembre de 1957 (excelente añada), y cuya solución publicó en el número 13 de la misma revista, en marzo de 1958. El juego está basado en un principio matemático, conocido posteriormente con el nombre —cómo no— de principio de Kraus. Ordena la baraja como en el juego anterior. Ahora realiza la siguiente secuencia de movimientos: Corta para dejar el 3P como carta superior. Deja sobre la mesa, cara arriba, la primera carta. Deja en un segundo montón, contando cara abajo y una por una, tantas cartas como el valor de la última carta cara arriba (el as vale 1, la J vale 11, la Q vale 12 y la K vale 13). Como se trataba de un tres, reparte tres cartas en un montón. Gira cara arriba la carta superior de dicho montón. Repite la operación formando un tercer montón que tiene tantas cartas como el valor de la última carta cara arriba y gira la última carta de ese montón. Al terminar de repartir todas las cartas, suma los valores de las cartas que están cara arriba. El resultado es 52, igual al número de cartas de la baraja. El mismo resultado se obtiene si se empieza colocando como carta superior el 4P, 5P, …, 10P. La razón es que dichas cartas forman un ciclo al ser las únicas que se giran cara arriba durante el proceso descrito. En su artículo, Alexander Kraus demuestra que la ordenación propuesta tiene la propiedad de que, si se empieza el proceso con cualquier otra carta, en algún momento se alcanza una de las cartas del ciclo, de modo que, a partir de entonces, ya no se sale del ciclo. Comentarios finales Se puede probar que cualquier permutación de las 52 cartas debe contener algún ciclo: al empezar por cualquier carta y recorrer toda la baraja, si se termina en la primera carta, esta ya forma un ciclo; si no, esta carta no pertenece al ciclo. Al seguir la cuenta, se llegará a una carta por segunda vez. Esta ya pertenece al ciclo y, a partir de ella, ya no se sale del mismo. El ciclo más pequeño es el formado por los cuatro reyes, espaciados cada trece cartas, cuya suma es, evidentemente, igual a 52. Un método sencillo de conseguir un ciclo —como observó Tom Ransom en el mismo número 13 de «Ibidem»— es tener ordenadas en la parte inferior de la baraja trece cartas con valores ordenados del as al rey, siendo el as la carta inferior. Así cualquier recorrido llegará a una de estas cartas con la que se termina el ciclo. De hecho, con esta preparación, no importa el número de cartas que tiene el paquete pues la suma de los valores de las cartas giradas será igual al número de cartas de dicho paquete. Es posible que un ciclo tenga que recorrer la baraja más de una vez; en este caso, la suma de sus valores es igual a 52 multiplicado por el número de veces que se recorra la baraja. Es fácil destruir este ciclo eliminando una de sus cartas. En este caso, la suma final será 51. Una cuestión no resuelta es: ¿existe algún ciclo con el que se utilizan todas las cartas? Si fuera así, debe recorrer la baraja siete veces debido a que 7 x 52 = 364, que es la suma de todas las cartas. Un par de efectos que utilizan el principio de Kraus están ideados por el mago e informático Alex Elmsley (publicado en el segundo volumen de «The Collected Works of Alex Elmsley» de Stephen Minch en 1994) y por el banquero Arthur McTier (descrito en el libro «Card Concepts», publicado en 2000). En los años 70, el principio de Kraus se convirtió en el principio de Kruskal cuando el físico Martin Kruskal lo modificó ligeramente para convertirlo en un método de adivinación de una carta después de un proceso sugerido por la idea de Kraus, un camino pseudoaleatorio que converge a un lugar concreto de la baraja. De este modo, un tema de Combinatoria se convirtió en una cuestión relacionada con la Teoría de Probabilidades. El capítulo 12 del libro «Impossible?» de Julian Havil desarrolla la teoría de probabilidades necesaria para analizar el principio de Kruskal. En este rincón también rendimos cuentas a este principio, en el número 46, allá por enero de 2008. El Dr. Maths, seudónimo de Steve Humble (inventor del juego «Triangle Mysteries» que describimos en el número 185 de septiembre de 2020), realizó una actuación en Alchemist Cafe de Dublin (2010), donde presentó un juego basado en el principio de Kruskal, involucrando a varios espectadores. El video con esta entretenida presentación puede verse en YouTube. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 04 de Mayo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

312. 73. (Mayo 2021) Médicos matemáticos (o viceversa)

(Médicos matemáticos (o viceversa)) Solo en tiempos relativamente recientes el saber ha estado tan especializado y compartimentado. La revolución científica ha ampliado tan lejos las fronteras del conocimiento que los más sabios de hoy se sienten más que nunca identificados con el solo sé que no sé nada socrático. Si Newton se imaginaba como un niño en una inmensa playa repleta de guijarros que no podía abarcar, Einstein replicaba con una inmensa biblioteca de la que apenas llegaba a interpretar unos pocos párrafos de los inmensos secretos del viejo. Motivado por su inmensa curiosidad, el filósofo, como amante del conocimiento, no renunciaba a nada, ya fueran matemáticas o medicina. Un caso especialmente significativo lo encontramos muy próximo: los cuatro grandes de la filosofía en al-Andalus, Avempace (1085-1138), Abentofail (1105-1185), Averroes (1126-1198) y Maimónides (1138-1204), fueron médicos y matemáticos.  Musulmanes los tres primeros, judío el último. (Rafael. La escuela de Atenas. Pitágoras y Averroes, médicos y matemáticos) Algunos matemáticos recordados como de máximo nivel también fueron médicos: Pitágoras (c. 569-475), Eudoxo de Cnido (c. 390-337), Gerolamo Cardano (1501–1576), Gema Frisius (1508-1555) o Paolo Ruffini (1765-1822). Avicena (c. 980-1037) fue con Galeno la referencia médica durante siglos. Avicena también fue buen matemático y astrónomo. Matemáticos de vocación, médicos por necesidad. Hasta tiempos recientes la profesión de matemático ofrecía pocas oportunidades laborales: algunas y poco renumeradas plazas en universidades, el mecenazgo de la realiza y la nobleza, o la formación de navegantes, artilleros e ingenieros. Muchas vocaciones matemáticas se aparcaron para ejercer profesiones que permitían vivir como la medicina o las leyes. (Retrato del médico matemático Jean Fernel) Las matemáticas, el quadrivium, en los inicios de la modernidad eran materias propedéuticas y formaban parte de la educación básica. En el caso de la medicina esa formación matemática se intensificaba por la relación de la astrología y el arte de curar, del macrocosmos y el microcosmos. El caso de Jean Fernel (1497 — 1558), llamado "El Galeno moderno", pone de manifiesto como el ejercicio de la medicina se convierte en necesidad. Resulta muy significativa la diatriba del suegro de Fernel para convencerle de abandonar la matemática: Ahora bien, el conocimiento de las matemáticas es bastante bueno en sí mismo como cultura, y ejercita el ingenio, pero siempre que se use moderando el tiempo que se le dedica. Mas se convierte en algo escandaloso cuando un hombre honesto con deberes para con la gente y su familia se echa, por así decirlo, a dormir en las arenas movedizas de sus cantos de sirena, dejando pasar los años. Las matemáticas no contribuyeron al bienestar público. Aparte de un mínimo de aritmética y geometría, afecta poco o nada a la sociedad. Por otro lado, cuando volvemos nuestra mirada y nuestro pensamiento a la medicina, encontramos que es una ciencia que se ocupa ya sea a la investigación sublime de la naturaleza o a actos de beneficencia y utilidad. Es de derecho la más digna de todas las artes. Las matemáticas no pueden compararse con ella. De igual forma, Duncan Liddel (1561 – 1613), después de una dilatada carrera como profesor de matemáticas y astronomía en Europa Central, al volver a su Escocia natal se ve obligado a ejercer la medicina para subsistir. De Liddel se decía que era el único que enseñaba los tres sistemas astronómicos: Ptolomeo, Brahe y Copérnico. Cardano, médico, matemático y astrólogo. Una de las figuras más representativas de las inquietudes del Renacimiento es el lombardo Gerolamo Cardano. Médico de éxito, matemático avanzado y astrólogo convencido. (Cardano y otros. Gallerie degli uffizi. Florencia) Como matemático su Ars magna (1545) es el principal tratado de álgebra de su época y De ludo aleae (1541) es el primer tratado sistemático de teoría de la probabilidad.  La medicina es lo que le permite vivir como profesor en Pavia y Milán, rechaza ser médico de papas y reyes. La vida de Cardano está plagada de polémicas, quizá la más agria es la compra de la resolución de la ecuación cúbica a Tartaglia bajo promesa de no publicar. Hoy se conocen como fórmulas de Cardano. En su descargo está que descubrió los antecesores del descubrimiento. Lo que más nos ilustra su tiempo es la actuación de la inquisición por haber realizado el horóscopo de Jesucristo. Sus memorias De vita propia empiezan con su propio horóscopo. La creencia astrológica era generalizada y da una de las claves de la vinculación de la  matemática y la medicina: había que saber astronomía para estudiar cómo el microcosmos del hombre se veía afectado por el macrocosmos. Gemma Frisius, médico en Lovaina, matemático en casa. (Gemma Frisius. Museum Boijmans Van Beuningen. Rotterdam) La universidad de Lovaina no tenía cátedra de matemáticas y Gemma Frisius ocupaba una de medicina. La pasión por la astronomía le hacía enseñar matemáticas en su propia casa. Los españoles Juan de Rojas y Jerónimo Muñoz fueron alumnos suyos. Rojas da nombre a un astrolabio muy popular y Muñoz fue catedrático de matemáticas en Valencia y Salamanca. Diego de Torres Villarroel, médico, matemático y... pícaro. Diego de Torres Villarroel (1693–1770) viene a ser la caricatura de Cardano. Catedrático de matemáticas en Salamanca y médico en Coimbra. Ambos astrólogos y redactaron su autobiografía: Vida, ascendencia, nacimiento, crianza y aventuras del doctor don Diego de Torres y Villarroel. Publicada en 1743, y después reformada, Vida pasa por ser la última de las grandes novelas de la picaresca española. Presentada como libro autobiográfico hay que leerla como ficción por la continuada falta de rigor. Como novela picaresca del catedrático de matemáticas de la universidad salmantina es excelente. Las aventuras del gran danzante, mediano músico, buen toreador y refinado y atrevido truhán son dignas de cuidadosa relectura. (Diego de Torres Villarroel) La cátedra de Matemáticas y Astrología de Salamanca llevaba treinta años sin cubrirse, y el panorama que dibuja Don Diego es aterrador. Hoy sabemos que el desierto intelectual no era tan árido, aunque como pícaro el doctor Torres Villarroel no tenga reparo en decir: Las matemáticas, la música y la poesía se las doy a cualquiera, me quedaré con las zurrapas astrológicas que me dan de comer. Celestino Mutis, matemático, médico y botánico. La monumental obra de José Celestino Mutis (1732 – 1808) como botánico ha eclipsado la de medico,  primer catedrático de Matemáticas y su importancia en la enseñanza de la ciencia moderna en el Nuevo Mundo. El sabio gaditano pasa de médico del Virrey a la enseñanza de la matemática y a catalogar la rica flora colombiana. (Billetes español y colombiano en homenaje a Celestino Mutis) Cuando Alexander Humboldt visitó Santa Fe de Bogota en 1801 quedó admirado del inmenso trabajo desarrollado por Celestino Mutis y sus compañeros ilustrados en el Nuevo Reino de Granada. La obra botánica ha permanecido inédita, aunque ya se han publicado más de treinta tomos y se espera la conclusión de los cincuenta previstos. Hoy todo ha quedado como un monumento artístico, una muestra de lo que pudo ser y una riqueza documental de escasa influencia. Algo parecido a los cuadernos de Leonardo. Ruffini, un matemático contra el tifus. Paolo Ruffini (1765-1822) estudió medicina pero su dedicación preferente fueron las matemáticas. Con Abel y Galois pone su nombre en la irresolubilidad por radicales de la ecuación de quinto grado, punto de despegue de la matemática moderna. Durante la epidemia de tifus en 1817 no dudó en remangarse y volver a la práctica médica hasta el punto de contagiarse aunque salvó su vida. Medicina y análisis geográfico-estadístico contra el cólera: John Snow Cuando la pandemia nos devuelva cierta libertad bien vendrá tomarse una cerveza inglesa. Puestos a adentrarnos en algún pub bien podemos elegir aquellos que nos recuerden o hagan homenaje a las matemáticas y la medicina. Así, en el corazón del Soho londinense, en el número 39 de la calle Broadwick nos encontraremos con la cervecería John Snow. (1813-1858) El establecimiento recuerda al médico que en 1854 pudo vencer y controlar una de las epidemias de cólera más mortíferas. (Banderola del pub John Snow. Londres) El instrumento que empleó Snow para convencer a las autoridades de que clausurarán la fuente causante de la mortandad fue la estadística, que en el Soho se apuntó un éxito decisivo como herramienta imprescindible. Bien se ve que la cerveza del local es una forma de animar nuestra visita a la modesta fuente que con una placa recuerda el hecho. La fuente se encuentra casi frente al pub. Medicina y matemáticas hoy La parcelación del conocimiento hace que toda investigación importante sea cada vez más interdisciplinar. Hay artículos firmados por decenas de participantes y se quedan cortos. El análisis genético molecular o la tomografía requieren tal cantidad de tecnología que la física, la química, la biología, la medicina y la matemática están presentes aunque puedan quedar ocultas en el software. La secuenciación del contenido molecular del virus causante del SARS-CoV ha sido una tarea que ha necesitado el recurso de la bioquímica, la física y el análisis matemático. El estudio estadístico de poblaciones, inmunidad, extensión de la enfermedad, prevalencia o validez de las vacunas se están haciendo con las pautas científicas que la matemática ha desarrollado. Tener presentes los números no calma el dolor pero si permite razonar mejor. La media de fallecimientos diarios en España venía siendo de 1150 personas, de las que 1000 eran mayores. El virus en su momento más virulento estuvo a punto de duplicar la tasa diaria. El problema mayor reside en como se ceba en las personas con otras afecciones o de mayor edad. Pararlo es una obligación moral.

Lunes, 03 de Mayo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

313. Webinar CASIO: Problemas con matrices. Propiedad de la vivienda. Movimientos migratorios entre ciudades

Nivel: 2º BACHILLERATO. Es habitual que el estudio de las matrices en 2º de bachillerato se reduzca básicamente a realizar sus operaciones con lápiz y papel y a su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Las dos situaciones realistas que se presentan en esta sesión permiten iniciar de manera significativa el concepto de matriz y de producto de matrices. La rapidez de la calculadora posibilita dedicar el tiempo en lo realmente importante: qué operaciones hay que hacer, en qué orden y la validación de los resultados. Profesora: Maite Navarro Calculadora: ClassWiz. Modelos  fx-570/ 991SP X II La App CASIO EDU+ está disponible aquí: https://wes.casio.com/es-es/​ Descarga el emulador gratuito de la calculadora: https://www.edu-casio.es/emulador/​ Material webinar (PDF): https://www.edu-casio.es/wp-content/uploads/2021/04/MATRICES-FINAL.pdf María Teresa Navarro Moncho Licenciada en Matemáticas, Diplomada de Estudios Avanzados en Didáctica de la Matemática. Vicedirectora del Centro Específico de Educación a Distancia de la Comunidad Valenciana. Miembro del grupo de calculadoras de la FESPM desde 2014 y coordinadora del mismo desde 2016. Autora de diversos artículos sobre la resolución de problemas, modelización matemática y uso didáctico de la calculadora científica y gráfica.

Martes, 27 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

314. Las Cadenas de Markov: las matemáticas que nos enseñó una serie de televisión

ABC, 26 de Abril de 2021 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 26 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

315. Webinar CASIO: Problemas de optimización

En esta sesión se resolverán problemas de optimización con ayuda de la calculadora gráfica. Se utilizarán diferentes menús, no es necesario pero se recomienda haber realizado previamente un taller práctico de calculadora gráfica. Profesor: Ricard Peiró Calculadora: fx-CG50 Descarga el emulador gratuito de la calculadora: https://www.edu-casio.es/emulador/​ Material webinar (PDF): https://www.edu-casio.es/wp-content/uploads/2021/04/PROBLEMAS-DE-OPTIMIZACIO%CC%81N-FINAL.pdf RICARD PEIRÓ I ESTRUCH Licenciado en Matemáticas por la Universitat de València. Docente de matemáticas en la Comunidad Valenciana, actualmente en el IES “Abastos” de València. Ha impartido como ponente diversos cursos de TIC en el CEFIRE de la Comunidad de Valencia y ha sido premiado dos veces por estos materiales en concursos de la Conselleria de Educació de València. Colaborador en el Grupo de Calculadora de la FESPM y CASIO.

Martes, 20 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

316. ¿Qué son las 'Matemáticas Singapur'?

ABC, 19 de Abril de 2021 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Pedro Ramos Alonso

Lunes, 19 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

317. Webinar CASIO: La morfología de las hojas

En esta sesión se resolverá un problema contextualizado haciendo uso de las propiedades de las funciones y de la integral definida como aplicación al cálculo del área. Se Observará la conexión existente entre matemáticas y morfología y fisiología vegetal. Recomendado para 2º Bachillerato. Profesor: Lluís Bonet Juan Calculadora: fx-CG50 Descarga el emulador gratuito de la calculadora: https://www.edu-casio.es/emulador/​ Materiales webinar (PDF): https://www.edu-casio.es/wp-content/uploads/2021/04/WEBINAR-MORFOLOGIA-DE-LAS-HOJAS-FINAL.pdf Lluís Bonet Juan Lluís BONET JUAN, licenciado en CC Matemáticas por la Universidad de Valencia es profesor de secundaria en el IES Mare Nostrum de Alicante y profesor-tutor en la UNED de Denia-Benidorm. Ha recibido el Premio EDUCA al mejor docente de España 2019 de secundaria y bachillerato. Es miembro de la SEMCV y colaborador con la FESPM y CASIO en el grupo de trabajo sobre implementación de la calculadora en el aula como recurso didáctico.

Martes, 06 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

318. Webinar CASIO: Parábola que pasa por tres puntos

En esta sesión se resolverá un problema muy habitual con ayuda de la calculadora científica. Se utilizarán diferentes menús de la calculadora para resolverlo. Profesor: Ricard Peiró Calculadora: ClassWiz. Modelos fx-82/85SP X II y fx-570/991SP X II Descarga el emulador gratuito de la calculadora: https://www.edu-casio.es/emulador/​ Material webinar (PDF): https://www.edu-casio.es/wp-content/uploads/2021/03/CASIO-W.-PARABOLA-FINAL.-pdf.pdf RICARD PEIRÓ I ESTRUCH Licenciado en Matemáticas por la Universitat de València. Docente de matemáticas en la Comunidad Valenciana, actualmente en el IES “Abastos” de València. Ha impartido como ponente diversos cursos de TIC en el CEFIRE de la Comunidad de Valencia y ha sido premiado dos veces por estos materiales en concursos de la Conselleria de Educació de València. Colaborador en el Grupo de Calculadora de la FESPM y CASIO.

Martes, 23 de Marzo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

319. Webinar CASIO: Matrices. Vectores. Números complejos

Durante la sesión se enseñará todas las opciones que ofrece la calculadora gráfica para hacer operaciones con matrices, vectores y números complejos. Profesor: Lorenzo Sevilla Calculadora: fx-CG50 Descarga el emulador gratuito de la calculadora: https://www.edu-casio.es/emulador/​ Material webinar (PDF): https://www.edu-casio.es/wp-content/uploads/2021/03/CASIO-matrices-V2.pdf Lorenzo Sevilla Lorenzo Sevilla, licenciado en CC Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid es profesor de educación secundaria en el IES Las Musas (Madrid). Ha participado en congresos y talleres para la integración de las TIC en la clase de matemáticas, es colaborador de la división Educativa de CASIO e imparte talleres de calculadoras científicas y gráficas. Participa con su centro en proyectos de investigación y ha sido premiado con “Experiencias en el aula con Geogebra”.

Martes, 16 de Marzo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

320. Webinar CASIO: El muelle

En esta sesión se resolverá un problema que combina física y matemáticas con ayuda de la calculadora científica. Se utilizará el menú estadística de la calculadora para resolverlo. Profesor: Lluís Bonet Juan Calculadora: ClassWiz. Modelos fx-570/991SP X II La App CASIO EDU+ está disponible aquí: https://wes.casio.com/es-es/​ Descarga el emulador gratuito de la calculadora: https://www.edu-casio.es/emulador/​ Materiales webinar (PDF): https://www.edu-casio.es/wp-content/uploads/2021/03/El-muelle-FINAL.pdf Lluís Bonet Juan Lluís BONET JUAN, licenciado en CC Matemáticas por la Universidad de Valencia es profesor de secundaria en el IES Mare Nostrum de Alicante y profesor-tutor en la UNED de Denia-Benidorm. Ha recibido el Premio EDUCA al mejor docente de España 2019 de secundaria y bachillerato. Es miembro de la SEMCV y colaborador con la FESPM y CASIO en el grupo de trabajo sobre implementación de la calculadora en el aula como recurso didáctico.

Martes, 09 de Marzo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico