511. Maravillas que esconden los números

Categoría: Historia de las matemáticas Autor: Johnny Ball Editorial: Libsa Año de publicación:  2018 Nº de hojas: 458 ISBN: 978-8466238632 Traducción: Jaime de Montoto y de Simón

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512. Matemáticas, una historia ilustrada de los números

Categoría: Historia de las matemáticas Autor: Tom Jackson Editorial: ILUS BOOKS Año de publicación:  2016 Nº de hojas: 144 ISBN: 978-9089986559

Miércoles, 29 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

513. Los secretos matemáticos del embaldosado

ABC, 27 de Enero de 2020 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

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514. El número ludolphino

El matemático Ludolph van Ceulen (1540-1610) nació un 28 de enero. Calculador excepcional, se le conoce fundamentalmente por haber aproximado el valor del número pi con 35 cifras decimales exactas, utilizando para ello el método de los perímetros mediante un polígono regular de 262 lados. Este récord se mantuvo durante 30 años. Pasó la mayor parte de su vida realizando ese cálculo… en su libro Van den circkel –Sobre el círculo– (1956) publicó 20 decimales exactos, que encontró recortando un pentadecágono –15 lados– en 2, luego en 4, etc. hasta 231 partes. TU Dortmund Entre 1603 y 1610 calculó la aproximación con los 15 dígitos exactos: 3,14159265358979323846264338327950288. De hecho, sobre todo en textos alemanes, el número pi fue conocido durante mucho tiempo como número ludolphino.  Tras su muerte, a petición propia, varios decimales del número fueron grabados sobre su tumba en Leiden. U. Gröningen Réplica de la tumba de Van Ceulen Más información: Rudolph Van Ceulen, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University Barry Cipra, Digits of pi, What’s happening in the mathematical sciences, 28-39 Paulino Valderas, Ludolph van Ceulen y la extraña redacción (o en qué se parece una furgoneta a los 35 primeros decimales del número pi), El Matenavegante, 2010 Ludolph van Ceulen (1540-1610) (en holandés) Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Martes, 28 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

515. 12. (Noviembre 2019) Una regla para dibujar espirales logarítmicas y deshacer mitos

¿Quién no ha escuchado alguna vez que la espiral áurea la podemos encontrar en la forma  de la concha del nautilus? ¿Qué nos diríais si os demostráramos que esta afirmación es completamente falsa? Empecemos por el principio. ¿Qué es una espiral? En nuestro taller “Espirales”, destinado a alumnos de 4º de primaria, explicamos que una espiral se consigue combinando dos tipos de movimiento: uno circular alrededor de un punto, y uno lineal alejándose de dicho punto. De esta forma, una espiral es una línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente de un centro a la vez que gira alrededor de él. Con muchos ejemplos y varios métodos diferentes, los alumnos diferencian y dibujan espirales arquimedianas y logarítmicas. Por otro lado, en nuestro taller "Creciendo en proporción", destinado a 1º de la ESO, hablamos de la sucesión de Fibonacci y del número áureo. Después de ver montones de ejemplos que aparecen en la naturaleza, los alumnos quedan fascinados con la magia de este número. Una vez presentado el número áureo, mostramos los rectángulos áureos y también las espirales áureas. Aunque, como hemos dicho, en muchos libros y artículos relacionan la espiral dorada con la espiral del nautilus, si medimos con un calibre, o comparamos ambas espirales, vemos rápidamente que esta información es errónea. En la imagen puede verse cómo claramente ambas espirales no coinciden. Las dos espirales son logarítmicas y, además, están relacionadas con el número áureo, pero tienen diferente razón de crecimiento. Empiezan y terminan en el mismo punto pero el nautilus va abriéndose mucho más lentamente, es decir, da más vueltas hasta llegar al punto final. Una regla que dibuja espirales Basándonos en un método explicado por el gran Martin Gardner en su libro "El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos", en Divermates hemos querido enseñaros cómo construir una regla con la que podréis dibujar las dos espirales que queremos comparar y que tanta controversia han dado en el mundo de las matemáticas. En este libro Gardner nos enseña cómo fabricarnos una regla para construir espirales logarítmicas. El ángulo a puede tomar cualquier valor entre 0º y 180º. Si escogemos exactamente un ángulo de 90º, estaremos dibujando una circunferencia, y si usamos un ángulo de 74º39', la espiral resultante sería su propia envolvente. En nuestra regla hemos aprovechado los dos extremos para realizar dos espirales distintas. Justamente hemos seleccionado los ángulos que nos dibujarán las dos espirales a comparar: la espiral áurea y la espiral del nautilus. Para construirte esta regla sólo necesitarás pegamento, tijeras, y las reglas que podrás descargarte aquí: http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=1179&Itemid=75 Recomendamos imprimir la regla en cartulina, para tener más rígidez. En cada copia vienen cuatro reglas. Lo primero que tienes que hacer es separar una de ellas, recortando el rectángulo por la línea más gruesa. A continuación vamos a doblar por la línea de puntos y echar pegamento por la parte de atrás. Esto lo haremos para pegar doble capa de cartulina y así reforzar nuestra regla. Por último, ya con la doble capa hecha, vamos a recortar la forma exacta de la regla. ¡Ya tienes tu regla! Sigue leyendo para entender cómo funciona. ¿Cómo funciona? Lo primero que tenemos que hacer es marcar el polo de nuestra espiral. Una vez marcado vamos a mover la regla dejando el borde interno siempre sobre este polo. Lo más sencillo es clavar una aguja o un alfiler para apoyar la regla sobre él. A partir de aquí, iremos trazando pequeños segmentos apoyándonos en la recta oblicua mientras vamos girando nuestra regla en torno al  polo, en dirección horaria o antihoraria. Es importante que al girar la regla siempre tengamos el borde interno situado tocando el polo. Además, tenemos que dibujar estos segmentos uniendo cada uno con el siguiente. El mecanismo asegura que todas estas cuerdas corten el radio vectorformando el mismo ángulo. Es exactamente este hecho el que hace que la regla funcione, ya que al ser la espiral logarítmica una espiral equiangular, el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante. Al dibujar nuestra espiral con pequeños segmentos se produce un efecto que se asemeja mucho a la forma en que muchas arañas tejen su tela. Espiral áurea y  espiral del nautilus Una vez que has dibujado ambas espirales puedes observar y comprobar sus diferencias. En la imagen puedes ver en rojo la espiral áurea y en verde la espiral del nautilus. En el lado exterior de la regla hemos incluido, a cada lado, una cota con el crecimiento de ambas espirales. Podrás encontrar un punto en tu espiral donde, al poner el punto medio de la cota sobre el polo, las longitudes hasta las ramas de la espiral a cada lado coincidirán con las cotas. Como ves, ambas están relacionadas con el número de oro, una con phi y la otra con su cuadrado. Al tener en la espiral del nautilus la proporción 1 frente al número de oro, si tenemos a mano un compás áureo podemos comprobar que esta proporción se cumple en todos los puntos de la espiral. Nosotros lo hemos comprobado con el compás áureo de Divermates. ¿Y entonces por qué se han relacionado siempre estas dos espirales como iguales? No está muy claro. En el libro Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, de Matila C. Ghyka, se habla de la relación del número de oro con el crecimiento de la concha de diferentes moluscos, pero distingue tres tipos de espirales: - En la primera, la pulsación radial es el número de oro. Esta pulsación radial se refiere a la relación entre las distancias al dar una vuelta y la siguiente, en una misma dirección. OC/(OB) = ϕ - En la segunda, la pulsación diametral es el número de oro. Esta pulsación diametral se refiere a la relación entre las distancias a un punto y al punto diametralmente opuesto siguiente, situado a 180º. Justo esta espiral es la correspondiente al nautilus. OD/(OD') = ϕ - En la última, la pulsación cuadrantral es el número de oro. Esta pulsación cuadrantal se refiere a la relación entre las distancias a un punto y al siguiente punto situado a 90º. Al tener pulsación cuadrantal , esta espiral tendrá pulsación diametral , por lo que es justo la espiral de Durero. OD/(OD'') = ϕ En la siguiente imagen podemos ver en colores rojo y azul los segmentos a los que nos referimos en cada uno de los tres casos, y se puede apreciar  perfectamente lo mucho que difieren las tres espirales. Posteriormente, en el cortometraje Donald en el país de las matemáticas, lanzado en 1959, el “señor Espíritu” enseña a Donald el número de oro y las proporciones áureas. Llega un momento en el que con la ayuda de la concha del nautilus, el Espíritu explica que las proporciones mágicas de la sección dorada son a menudo encontradas en las espirales de los diseños de la naturaleza. En realidad, lo que muestra en el fotograma de la imagen es que los segmentos naranjas, los verticales, están todos en proporción áurea. A partir de esos segmentos completa la espiral haciéndola coincidir con la espiral del nautilus. En realidad, las relaciones indicadas son correctas, pero desde Divermates creemos que ha podido dar lugar a que muchos espectadores relacionen directamente la espiral del molusco con la espiral áurea, aunque no sea correcta esta igualdad. Como vemos, efectivamente la espiral del nautilus está relacionada con el número áureo. Dicha relación ha podido llegar, con el paso de los años, de libro en libro y artículo en artículo, a relacionar erróneamente la espiral del nautilus con la espiral áurea. En cualquier caso, esta falsa relación nos parece un buen ejemplo con el que enseñar a los más jóvenes que las matemáticas, y la ciencia en general, deben buscar el pensamiento crítico, y que se debe cuestinar y comprobar todo, incluso lo que muchas veces damos por cierto solo por haberlo leído en muchos libros o páginas web. BIBLIOGRAFIA Gardner, M. (2018), El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos, Madrid, Alianza Editorial C. Ghyka, M. (1946), The geometry of Art and Life, Dover Publications   Nota: Lo más importante de la ciencia es que todos nos revisamos continuamente para ser lo más rigurosos posibles. Ante la publicación de nuestra entrada sobre la espiral áurea y la del Nautilus hemos recibido un comentario de José R. Galo Sánchez señalando que nuestra aproximación no es la más ajustada. A pesar de recogerse en alguna bibliografía (Fletcher, R. (Feb 1988). Proportion and the Living World. Parabola,13 (1)), parece ser que la pulsación diametral 1:phi que incluimos en nuestro artículo no es la mejor aproximación a la espiral de la concha del Nautilus. Como José R. Galo Sánchez indica en su artículo (Galo Sánchez, J.R., Cabezudo Bueno, Á., y Fernández Trujillo, I. (2016). Sobre la forma y el crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius. Épsilon, 33 (94),81-110.) el factor de crecimiento del Nautilus es 3 o próximo a 3 (lo que supondría una pulsación cuadrantal r=1,31607), por lo que realmente la espiral cordobesa se ajustaría con mucha más precisión (pulsación cuadrantal 1,3065 frente nuestra pulsación cuadrantal sqrt(phi)=1,2720).  

Lunes, 11 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

516. El calendario 2020 de las funciones complejas

El calendario Complex Beauties ya está disponible para el año 2020: las preciosas imágenes de funciones complejas impactan por sus formas y colores. El calendario de este año es fruto del trabajo de un equipo formado por cuatro personas: Elias Wegert y Gunter Semmler –Institut für Angewandte Analysis de la Technische Universität Bergakademie Freiberg– y Pamela Gorkin y Ulrich Daepp –Bucknell University–. Contiene 26 páginas, una por cada mes y otra explicando con detalle la función que se representa –además de la portada y contraportada–. La matemática y los matemáticos nombrados a través de sus funciones son (en el orden en el que aparecen): Charles Hermitte (1822-1901), Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), Marcel Riesz (1886-1969), Josiah Willard Gibbs (1839-1903), Arnaud Denjoy (1884-1974), Siméon Denis Poisson (1781-1840), Eugène Fabry (1856-1944), George Green (1793-1841), Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987), Jacqueline Ferrand (1918-2014), Lars Edvard Phragmén (1863-1937) y Joseph Liouville (1809-1882). Una auténtica belleza, para aprender y disfrutar. El calendario puede descargarse gratuitamente en formato pdf. Se pueden también descargar los calendarios de los años 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018 y 2019. Cada año contiene funciones diferentes. Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Jueves, 23 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

517. Esculturas anamórficas de Jonty Hurwitz

El artista Jonty Hurwitz tiene una magnífica colección de anamorfosis en tres dimensiones: su arte se basa en precisos cálculos, en los que las matemáticas y los programas informáticos son esenciales. Kiss of Chytrid, http://www.jontyhurwitz.com/kiss-of-chytrid A primera vista se aprecia una extraña escultura… pero reflejado en el espejo se descubre un gran sapo. —oOo— Estas esculturas anamórficas se basan en el análisis de objetos cotidianos -manos, piernas, brazos, rostros, ranas, etc.- que después Jonty Hurwitz distorsiona digitalmente y construye con diferentes materiales. Los extraños objetos deformados recuperan su aspecto original al verlos reflejados sobre un espejo cilíndrico. Rejuvenation, http://www.jontyhurwitz.com/rejuvenation —oOo— Esta escultura consta de diversas piezas de una cabeza cortada en rodajas. The Hurwitz sinularity, http://www.jontyhurwitz.com/know-thyself Pero esa cabeza puede verse completa: basta con colocarse en el lugar adecuado. The Hurwitz sinularity, http://www.jontyhurwitz.com/know-thyself Puedes ver esta magnífica escultura desde diferentes ángulos en este video: —oOo— Esta escultura es una cabeza humana pixelada, que recupera su aspecto desde una única perspectiva. Co-founder, http://www.jontyhurwitz.com/wonga-co-founder Co-founder, http://www.jontyhurwitz.com/wonga-co-founder —oOo— Jonty Hurwitz explica de este modo su método de trabajo: For the anamorphic pieces its an algorithmic thing, distorting the original sculptures in 3D space using 2πr or πr3 (cubed). Much of it is mathematical, relying on processing power. There is also a lot of hand manipulation to make it all work properly too as spacial transformation have a subtle sweet spot which can only be found by eye. Generally I will 3D scan my subject in a lab and then work the model using Mathematica or a range of 3D software tools. I think the π factor is really important in these pieces. We all know about this irrational number but the anamorphic pieces really are a distortion of a “normal” sculpture onto an imaginary sphere with its centre at the heart of the cylinder. Visto en Colossal Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com

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518. El paralaje, el cálculo matemático para medir la distancia a las estrellas

ABC, 20 de Enero de 2020 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Víctor M. Manero

Lunes, 20 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

519. Agnes Mary Clerke, cautivada por la astronomía

La astrónoma Agnes Mary Clerke (1842-1907) falleció un 20 de enero. Interesada en la astronomía desde niña, empezó a escribir sobre este tema antes de los 15 años. Alcanzó fama mundial en 1885, al publicarse su exhaustivo tratado A Popular History of Astronomy during the Nineteenth Century. No fue una astrónoma ‘de campo’, pero recopiló, interpretó y resumió resultados de la investigación astronómica. En 1888 pasó tres meses en el Observatorio del Cabo –invitada por su director David Gill–, y allí se familiarizó con la espectroscopia, siendo capaz de escribir sobre esta nueva rama de la ciencia con claridad. En 1892 se le concedió el Actonian Prize de la Royal Institution. Fue miembro de la British Astronomical Association; en 1903, junto a la astrónoma Margaret Lindsay Huggins, fue elegida miembro de la Royal Astronomical Society, un honor del que sólo habían disfrutado hasta el momento Caroline Herschel y Mary Somerville. Más información: Agnes Mary Clerke, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University M. L. Huggins,  Agnes Mary Clerke, Astrophysical Journal 25 (1907) 226-229 Online Books by Agnes M. Clerke Wikipedia Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Lunes, 20 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

520. Calculus Rhapsody

Bohemian Rhapsody (1975) es una magnífica pieza de la mítica banda de rock Queen. En I will derive ya habíamos visto una parodia matemática de una conocida canción. ¿Quieres ver otra? Musicalmente, no tienen nada que ver con el genial Freddie Mercury, pero el video Calculus Rapsody tiene su gracia… Debajo aparecen las letras de ambas canciones, y no dejes de ir al final de la entrada, donde aparece un original video. Calculus Rhapsody Phil Kirk & Mike Gospel Is this x defined? Is f continuous? How do you find out? You can use the limit process. Approach from both sides, The left and the right and meet. Im a just a limit, defined analytically Functions continuous, Theres no holes, No sharp points, Or asymptotes. Any way this graph goes It is differentiable for me for me. All year, in Calculus Weve learned so many things About which we are going to sing We can find derivatives And integrals And the area enclosed between two curves. Y prime oooh Is the derivative of y Y equals x to the n, dy/dx Equals n times x To the n-1. Other applications Of derivatives apply If y is divided or multiplied You use the quotient And product rules And dont you forget To do the dance Also oooh (dont forget the chain rule) Before you are done, You gotta remember to multiply by the chain [Instrumental solo] I need to find the area under a curve Integrate! Integrate! You can use the integration Raise exponent by one multiply the reciprocal Plus a constant Plus a constant Add a constant Add a constant Add a constant labeled C (Labeled C-ee-ee-ee-ee) Im just a constant Nobody loves me. Hes just a constant Might as well just call it C Never forget to add the constant C Can you find the area between f and g In-te-grate f and then integrate g (then subtract) To revolve around the y-axis (integrate) outer radius squared minus inner radius squared (multiplied) multiplied by pi (multiply) Multiply the integral by pi! Pi tastes real good with whipped cream! Mama-Mia, Mama-Mia Mama-Mia let me go. Pre-calculus did not help me to prepare for Calculus, for Calculus, help me! So you think you can find out the limit of y? So you think youll find zero and have it defined Oh baby cant define that point baby Its undefined Goes to positive and negative infinity Oooh. Oooh yeah, oooh yeah. Differentiation Anyone can see Any mere equation It is differentiable for me. (Any way this graph goes) Bohemian Rhapsody Queen Is this the real life? Is this just fantasy? Caught in a landslide No escape from reality Open your eyes Look up to the skies and see I’m just a poor boy (Poor boy) I need no sympathy Because I’m easy come, easy go Little high, little low Any way the wind blows Doesn’t really matter to me, to me Mama just killed a man Put a gun against his head Pulled my trigger, now he’s dead Mama, life has just begun But now I’ve gone and thrown it all away Mama, ooh Didn’t mean to make you cry If I’m not back again this time tomorrow Carry on, carry on as if nothing really matters Too late, my time has come Sends shivers down my spine Body’s aching all the time Goodbye, everybody I’ve got to go Gotta leave you all behind and face the truth Mama, oooooooh (Anyway the wind blows) I don’t want to die Sometimes wish I’d never been born at all [Guitar Solo] I see a little silhouetto of a man Scaramouch, Scaramouch, will you do the Fandango Thunderbolt and lightning, very, very frightening me (Galileo) Galileo (Galileo) Galileo, Galileo Figaro Magnifico-o-o-o-o I’m just a poor boy nobody loves me He’s just a poor boy from a poor family Spare him his life from this monstrosity Easy come, easy go, will you let me go? Bismillah! No, we will not let you go Let him go Bismillah! We will not let you go Let him go Bismillah! We will not let you go Let me go (Will not let you go) Let me go (Will not let you go) (Never, never, never, never) Let me go, o, o, o, o No, no, no, no, no, no, no (Oh mama mia, mama mia) Mama Mia, let me go Beelzebub has the devil put aside for me, for me, for me! So you think you can stone me and spit in my eye So you think you can love me and leave me to die Oh, baby, can’t do this to me, baby Just gotta get out, just gotta get right outta here [Guitar Solo] (Oooh yeah, Oooh yeah) Nothing really matters Anyone can see Nothing really matters Nothing really matters to me Any way the wind blows… ¿Conoces esta divertida versión de Bohemian Rhapsody de Los Teleñecos? Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Jueves, 16 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico