521. ¿De qué color son las fichas del saco?

Tal día como hoy falleció Lewis Carroll (1832-1898), así que aprovecho el día para recordar un problema de probabilidad de su The Mathematical Recreations of Lewis Carroll: Pillow Problems and a Tangled Tale Reading [Dover, 1958, pdf]. El enunciado del problema es el siguiente: Un saco contiene dos fichas, de las que se sabe que pueden ser de color blanco o negro. ¿Puedes prever su color sin sacarlas de la bolsa? Lewis Carroll afirma que una de las fichas es negra y la otra blanca… y lo argumenta del siguiente modo: Observación Previa: Si la bolsa contuviera dos fichas negras (n) y una blanca (b), la probabilidad de sacar una ficha negra es de 2/3, y es el único caso en el que la probabilidad da este valor. En la bolsa del problema planteado tenemos dos fichas, así que: 1) la probabilidad de que contenga dos fichas blancas (suceso B) es de 1/4: un caso favorable (b,b) entre los cuatro posibles (b,b), (b,n), (n,b) y (n,n); 2) la probabilidad de que el saco contenga una ficha blanca y otra negra (suceso BN) es de 1/2: dos casos favorables (b,n) y (n,b) entre los cuatro posibles (b,b), (b,n), (n,b) y (n,n); 3) la probabilidad de que el saco contenga dos fichas negras (suceso N) es de 1/4: un caso favorable (n,n) entre los cuatro posibles  (b,b), (b,n), (n,b) y (n,n). Es claro que es un sistema completo de eventos. Ahora introducimos una ficha negra en la bolsa y llamamos A al evento “se saca una ficha negra de la bolsa que contiene las tres fichas”. Y Carroll sigue argumentando… Por el teorema de la probabilidad total: P(A) = P(A/B)P(B) + P(A/BN)P(BN) + P(A/N)P(N) = 1/3 x 1/4 + 2/3 x 1/2 + 1/4 x 1 = 2/3. Es decir, es la misma que la probabilidad de extraer una ficha negra cuando el saco contiene dos fichas negras y una blanca…, así se concluye que antes de añadir la ficha negra, la bolsa contenía una ficha negra y una blanca. Lewis Carroll da esta solución aparentemente seria al problema, y lo remata con esta frase: To the casual reader it may seem abnormal, and even paradoxical; but I would have such a reader ask himself, candidly, the question “Is not, Life itself a Paradox?”. Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Martes, 14 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

522. Reflexiones de un matemático al comienzo del año

ABC, 13 de Enero de 2020 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 13 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

523. Ya está en marcha la LVI Olimpiada Matemática Española

Los días 17 y 18 de enero se celebrarán en todo el país las fases locales de la edición número 56 de la Olimpiada Matemática Española (OME). Una vez más, los estudiantes se enfrentarán a seis problemas, distribuidos en dos sesiones de tres problemas cada uno, a resolver en un tiempo máximo de tres horas y media.

Viernes, 10 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

524. Solo quedan dos meses para el primer Día Internacional de las Matemáticas

La comunidad matemática se prepara para conmemorar, el próximo 14 de marzo, el primer Día Internacional de las Matemáticas, después de la proclamación por parte de la UNESCO el pasado 26 de noviembre. Solo quedan dos meses para este esperado evento y desde la RSME animamos a los socios a que, a través de sus respectivas instituciones, organicen actividades en los días cercanos.

Viernes, 10 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

525. 178. (Enero 2020) Números interesantes

¿Quién se atreve a afirmar que no todos los números son interesantes? Vamos a otorgar momentáneamente al osado el beneficio de la duda. Con esta premisa, separaremos el conjunto de los números en dos tipos: el de números interesantes y el de números aburridos. Por muchos números aburridos que existan habrá alguno que sea el menor de todos. Eso lo convierte en interesante pues tiene el honor de ser "el primero de los números aburridos". Habrá que quitarlo de aquí y colocarlo en el grupo de números interesantes. Si empezamos de nuevo el razonamiento anterior, habrá otro número aburrido que se convierte en interesante por pasar a ser ahora "el primero de los números aburridos". Tarde o temprano, según el tamaño de tu conjunto inicial de números aburridos, ese conjunto se vaciará y todos los números pasarán a ser interesantes. ¿No te ha convencido el argumento? Claro, es una típica falacia obtenida como consecuencia de una definición imprecisa y ambigua. Porque si una definición no caracteriza de forma exclusiva el objeto definido, ya no es definición. Así que, para hablar de lo interesantes que son algunos números, debemos establecer una definición completa; lamentablemente, no existe definición matemática de una cualidad tan subjetiva como esta. Esta discusión, que tiene su origen en una anécdota ocurrida entre los matemáticos Srinivasa Ramanujan (1887-1920) y Godfrey Hardy (1877-1947) sobre el número 1729, es un buen punto de partida para mostrar algunas características distintivas de los números que sí permiten proporcionar definiciones y crear distintas personalidades a diferentes conjuntos numéricos. Vamos a romper con la tradición y, antes de mostrar algunos ejemplos, hagamos un juego donde los protagonistas sean los números, aunque disfrazados de cartas. Utilizaremos un conjunto de cartas donde están impresos algunos números. Como no importan los palos, los hemos sustituido por otros símbolos. Para realizar el juego mientras sigues las instrucciones, busca unas tarjetas o cartulinas en las que escribirás los números indicados o imprime y recorta las cartas que mostramos a continuación. Reúne todas las cartas, ordénalas de menor a mayor y forma un paquete con las caras hacia abajo. Corta y completa el corte para no saber cuál es la carta superior del montón. A continuación, reparte todas las cartas sobre la mesa, la primera a la izquierda, la segunda a la derecha, la tercera sobre la primera, la cuarta sobre la segunda, y así sucesivamente, hasta formar dos montones iguales. Retira la carta superior de cada montón, gira ambas cartas y sepáralas del resto. ¿Observas alguna característica que compartan ambos números? ¿Quizás alguna característica que los distinga? Recoge el resto de cartas colocando uno de los montones sobre el otro. Abre en abanico el paquete de cartas y selecciona seis de ellas, dejándolas sobresalir un poco del resto. Reparte, una a una y de arriba abajo, las seis cartas elegidas dejándolas sobre la mesa formando un montón (así habrás invertido el orden de estas cartas). Coloca a su lado, en otro montón, las seis cartas que han quedado en tu mano. Retira y gira la carta superior de cada montón. ¿Siguen teniendo alguna característica distintiva? Repite la operación anterior repartiendo las cartas superiores de cada montón. ¿Es cierto que, en todas las ocasiones, siempre habrá una feliz y una infeliz? Te preguntarás porqué hemos dicho que lo importante de las cartas son los números cuando lo que hemos conseguido es separar caras felices de caras infelices. Resulta que, precisamente, los números que aparecen en las caras felices se llaman oficialmente números felices y los otros son los llamados números infelices. ¿Qué propiedad distingue unos números de otros? Antes de dar la definición, elige un número, digamos 2019, y calculemos la suma de los cuadrados de sus cifras: 22 + 12 + 92 = 86. Repitamos la operación con el resultado: 82 + 62 = 100. Al repetir el proceso, sale el número 1 y no hay forma de seguir. Esto caracteriza a los números felices: la secuencia de números que se obtiene después de las operaciones indicadas termina en 1. ¿Qué pasará con el próximo año 2020? 22 + 22 = 8 →  82 = 64  →  62 + 42 = 52  →   52 + 22 = 29 →  22 + 92 = 85. A partir de ahora, se repite el ciclo 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, lo que impide que la secuencia termine en 1. Eso hace que el número sea infeliz (recuerda que es un concepto matemático, no una predicción sobre lo venturoso del nuevo año). Mira en este enlace los primeros números felices, los cuales hemos usado en el juego anterior. Si quieres entretenerte descubriendo propiedades de números, visita la página Find the factors, donde aparece la imagen de la portada formada por los primeros números pentagonales. De ellos, el 70, 176, 376, 1247 y 1335 son también felices. En el portal Numbers Aplenty puedes encontrar gran variedad de conceptos sobre características temperamentales de los números. En particular, la sección happy numbers contiene la lista de los números felices. En realidad, he querido incluir este juego en nuestro rincón para hablar del libro de donde lo he adaptado. Nuestro buen amigo Francisco González, colega por partida doble -pues es mago y matemático- ha publicado recientemente el libro titulado «Matemagia: descubre la magia de las matemáticas». El libro se divide en cuatro capítulos (uno por cada palo de la baraja), cada uno de los cuales contiene 13 juegos (uno por cada valor de las cartas) de magia matemática de todo tipo, y con diferentes materiales. Lo destacable de su trabajo es el toque personal en cuanto a las presentaciones de los juegos y el diseño particular de los elementos que utiliza. Precisamente, el capítulo 3 está dedicado a juegos que se realizan con una baraja muy especial, que él define como baraja de tipos: cada carta es un número con alguna característica especial, ya sea número perfecto, poderoso, narcisista, modesto, feliz, hambriento, etc. La siguiente imagen muestra algunos ejemplos de esta selección. De este modo, las propiedades matemáticas de los juegos de cartas se cumplen para familias de números relacionados entre sí por alguna propiedad aritmética, dando personalidad y carácter a estas cartas. La vertiente didáctica de este enfoque es muy interesante y se agradece el esfuerzo y generosidad del autor ofreciendo la posibilidad de descargar estas cartas especiales así como el resto de material utilizado en este libro. Puedes consultar directamente con el autor (paco@magopaco.es) para recibir más información sobre su retoño. Comentarios finales: Precisamente el inicio del nuevo año es propicio para explorar las características numerológicas del número que representa. Entre la multitud de propiedades interesantes que hemos ido compartiendo entre los matefrikis, me gustaría destacar dos de ellas: El nuevo año es un número autobiográfico porque contiene 2 ceros, 0 unos, 2 doses y 0 treses. El famoso teorema de los cuatro cuadrados conjeturado por Diofanto de Alejandría (siglo III) y demostrado por Joseph Louis Lagrange en 1770 afirma que todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de enteros positivos. Lo que no es tan común es que dichos números sean primos y, lo que es más difícil todavía, que sean primos consecutivos. Pues bien, eso ocurre este año ya que 2020 = 172 + 192 + 232 + 292, como se observa en la imagen adjunta (un pentágono de lados enteros), adaptada de un programa de Geogebra elaborado por Vincent Pantaloni. Esto no pasaba desde 1348 y no volverá a ocurrir hasta dentro de 672 años pues 2692 = 192 + 232 + 292 + 312. La última (ahora ya son tres): 2020 = 10 x 9 x 8 + (7 + 6) x 5 x 4 x (3 + 2) x 1. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 07 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

526. 147. ¿Estamos a salvo? Yo no me fiaría

No nos podemos quejar. Estas pasadas Navidades la televisión nos ha brindado películas con matemáticas detrás, aunque en algún caso, hubiera sido mejor cambiar de canal. Como seguro que lo hicieron, les contamos que se perdieron (el título de la reseña hace referencia a la película que vamos a describir). Nos referimos concretamente a la película que Antena 3 programó el pasado jueves 26 de diciembre (al menos tuvo la deferencia de hacerlo en horario nocturno, las 22:40). Empecemos por los datos Ficha Técnica: Título: Safe. Título Original: Safe. Nacionalidad: EE. UU., 2012. Dirección: Boaz Yakin. Guion: Boaz Yakin. Fotografía: Stefan Czapsky, en Color. Montaje: Frédéric Thoraval. Música: Mark Mothersbaugh. Duración:  94 min. Ficha artística: Intérpretes: Jason Statham (Luke Wright), Catherine Chan (Mei), Robert John Burke (Capitán Wolf), James Hong (Han Jiao), Anson Mount (Alex Rosen), Chris Sarandon (Mayor Tremello), Sándor Técsy (Emile Docheski), Joseph Sikora (Vassily Docheski), Igor Jijikine (Chemyakin), Reggie Lee (Quan Chang), James Colby (Detective Mears), Matt O'Toole (Detective Lasky), Jack Gwaltney (Detective Reddick). Sinopsis: Mei, una niña china con una capacidad innata para las matemáticas, es secuestrada por las triadas chinas que la obligan bajo la amenaza de matar a su madre a llevarles la contabilidad de sus negocios mentalmente, sin hacer anotaciones que pudieran comprometerles en algún momento. Comprobada su eficacia, el jefe Han Jiao la envía a Chinatown, en Nueva York, para ayudarlo a controlar sus actividades. Mientras tanto, el luchador Luke Wright ha destruido su vida después de ganar una pelea contra la voluntad de la mafia rusa, además de matar accidentalmente a su oponente. Los mafiosos rusos asesinan a su esposa y el alcohólico Luke deambula por calles y hogares para vagabundos sin ningún objetivo en la vida. Un día, Han Jiao le pide a Mei que memorice un número enorme asegurándola que es muy importante. Entonces, la mafia rusa secuestra a la niña de las triadas chinas, y tratan de obligarla a que les desvele el famoso número que saben que conoce. Ella logra escapar, pero es perseguida tanto por las triadas chinas, la mafia rusa y, por si fuera poco, por los detectives corruptos de la policía de Nueva York. Pero se cruza en su camino Luke Wright, a la que ve huyendo de los rusos en el metro, disponiéndose a protegerla. Para completar el absoluto disparate, descubrimos que Luke es en realidad un ex agente de élite, …, en fin, me dan ganas de terminar la reseña ya, …, pero bueno, veamos qué matemáticas tenemos detrás. Sobre las matemáticas presentes Lo cierto es que sabiendo que actor protagoniza la película, no podemos decir que no estemos avisados desde el principio. Violencia desproporcionada (le descerrajan a uno dos tiros en la cabeza por menos de nada), acción inverosímil, mínimo argumento (para que todo el mundo, o todo el mundo al que sólo le gustan este tipo de producciones, lo entienda, imagino) y banal desenlace, son los atractivos de esta película que convierte en obras maestras del cine a otras similares de décadas pasadas. Y con estos ingredientes, ¿qué tal son las matemáticas que aparecen? Aunque quizá para darle alguna gracia, lo cual no consigue de artificial que resulta, hay al inicio un intento de doble flashback, que dura cinco minutos (no sea que el espectador se pierda) básicamente para presentarnos a Mei, la niña de once años que se nos presenta como un genio. La vemos en una clase en su país, escribiendo signos matemáticos que nos resultan curiosos porque los mezclan con caracteres chinos, es de suponer que para darle más gracia al asunto, o quizá para transmitir la idea de que son tan inteligibles unos como los otros. Siendo una película norteamericana de las características descritas, seguramente sea para eso (por lo tanto, nada de acercar las matemáticas, sino más bien lo contrario, plasmar la imagen tópica de siempre). Cuando la cámara proporciona una panorámica general, observamos un par de parábolas dibujadas en la pizarra, junto a los símbolos y signos anteriores. Lo anterior (la imagen que hemos puesto) “parece” la descripción del dominio y la imagen de las funciones cuya expresión aparece encima (digo “parece” porque la única función que vemos descrita, toma valores para x diferentes a – 2, no a 2, como ella pone), aunque probablemente no tenga nada que ver con las gráficas que hemos indicado. Para rematar la cosa, la niña dice, después de hacer el gesto de borrar algo que está escrito: - Si contamos de este modo, nos da 350, pero haciéndolo de otro modo, suma 365. Sólo una respuesta es correcta. No deseo faltarle al respeto (al profesor), Sr. Su, pero sus cálculos están equivocados (el resto de compañeros de la clase se ríen). Y digo sorprendente porque ya me dirán si lo que dice tiene nada que ver con lo que escribe o con lo que se observa en el encerado. Inmediatamente después, la niña aparece ante el que suponemos es el director del centro, que la informa de que la van a cambiar de colegio porque han descubierto que es un genio para las matemáticas. Mei, acompañada por sus compañeros ya en la calle, se queja de que ella quiere seguir allí con sus compañeros de siempre, y que además ella odia las matemáticas. En ese momento es introducida en un automóvil por los sicarios de las Todo esto se nos va relatando en paralelo a la historia del boxeador Luke Wright, que como supondrán, no contiene rastros matemáticos de ningún tipo, por lo que obviaremos su existencia por el momento. Durante unos días, Mei aparece recorriendo las calles del lugar bien escoltada por los matones de turno, a uno de los cuales le va dando la relación de los ingresos y ganancias semanales de diversos negocios (por los comentarios, de los empresarios que son extorsionados por esta gente). Junto a las cifras, da los porcentajes de ganancia (que sinceramente no me he molestado en calcular si son correctos o no porque no merece la pena, bajo mi punto de vista) o de pérdida respecto de otras semanas. Cuando esto sucede, lo vemos en una tienda en concreto, que ha bajado de unas ganancias del 7% al 5%, cogen al gerente, le pegan una paliza con la niña como testigo, y finalmente, implorando el hombre piedad desde el suelo, el que dirige el cotarro le mete dos tiros en la cabeza, advirtiendo a los empleados que como no mejoren sus ventas, los siguientes serán ellos. Vamos, todo súper edificante. En otro momento, Mei da una cifra redondeada, lo que enfada al matón, y la increpa diciéndola que desea la cifra exacta, no aproximaciones. Mei, lejos de amilanarse, le suelta entonces el valor concreto. Demostrada su valía, la niña es trasladada a Chinatown, Nueva York, porque el jefe Han Jiao (interpretado por el conocido actor de películas de los ochenta James Hong, como Blade Runner, Desaparecido en combate, series como El equipo A, Dinastía, Playa de China, en fin, un montón; los que tengan algunos años, o hayan visto películas de aquellos años lo reconocerán rápidamente) le quiere encomendar un trabajo especial. Para comprobar por sí mismo si la niña es lo que le han contado, se entrevista con ella, forzando cierta simpatía que en seguida cambia ante una mínima tozudez de Mei. Enfadado, Han Jiao descoloca las bolas de un enorme ábaco presente en la habitación. La niña, inmediatamente es capaz de retornarlo a su posición inicial, como vemos en la imagen. Entonces, Han Jiao le muestra un papel en el que aparece descrito un número de muchas cifras (ver imagen), diciéndola: - Quiero que te lleves esto a tu habitación y que lo memorices. - Ya lo he memorizado, responde al momento. - Este es un número extremadamente importante. Por tu madre, respóndeme con cuidado, ¿estás segura de haberlo memorizado? - Puedo repetírselo, pero será largo y aburrido. El mafioso, riéndose, comenta a su sicario, - Mira esto. No llega aquí a un año, y ya tiene actitud americana. Entonces coge el papel, y lo quema. Ese número, al que equivocadamente denominan constantemente código, contiene (lo sabremos después) la combinación de una caja fuerte que contiene 30 millones de dólares. Han Jiao explica a la niña que su sicario Chang la va a llevar a encontrarse con un hombre que le mostrará un segundo número que también memorizará, y allí le darán las instrucciones finales. Por el camino, la mafia rusa captura a la niña que la amenaza si no les revela el número que sabe. Ante la negativa de Mei, los rusos pasan a ser más expeditivos (cargándose por el camino a una joven china mediadora). En ese momento, el que dirige el cotarro recibe la llamada de unos policías corruptos que los amenazan a su vez, y entre todo el lio que se monta, la niña, que como siempre en este tipo de subproductos, es la más lista de la función (no hay que esforzarse mucho la verdad), se escapa. Y en la persecución aparece nuestro “héroe” Luke/Statham (lo mejor de toda la película, en realidad de todas en las que participa este actor, es fijarse en cómo tratan constantemente de componer los planos para que no aparezca demasiado su despejado cráneo, ja ja ja). Posteriormente, Luke y Mei se refugian en la habitación de un hotel para estar seguros de todos sus perseguidores, pero él (¡¡qué raro habiendo sido un agente de élite!!) no se percata de que a la niña la han puesto un transmisor y enseguida dan con ellos. Pero en esos tres minutillos en los que no se cargan a nadie, Mei le explica a Luke (Claro, es que hay chicos que despiertan más confianza que otros) que lo realmente importante del largo número son las apariciones de los sietes y los treses (si uno mira el papel, en efecto, son los que menos aparecen). Concretamente sólo cinco números tienen un siete delante, y ocho tienen un tres (esto según la versión original; en la doblada al castellano, ni idea porque yo la he visto en versión original). Y el genial Luke deduce por sí solito (¡¡sin ver el número!! La niña no se lo escribe entero) que entre los sietes hay números de izquierda a derecha y otros, al contrario, así que el número lo que oculta es la combinación de una caja fuerte. Para redondear los disparates, el tráiler muestra una imagen en la que se seleccionan otros números diferentes (ver imagen), plano que no aparece en la película nunca.  Y por supuesto, hay final feliz, a pesar de todos los que se han cargado por el camino, porque ya se sabe que la vida de determinadas personas no vale demasiado. Muy edificante, vuelvo a repetir, como podrán comprobar, cuando la vuelvan a emitir (que esta cadena suele hacerlo para sacar partido al alquiler de la película, y a lo mejor hasta en horario infantil cualquier sábado por la tarde), si les han quedado ganas. Afortunadamente, hubo un día destacable en estas pasadas fiestas. La 2 emitió El hombre que conocía el infinito el lunes 30 de diciembre a las 22:00, y el mismo día, a las 22:50, Cuatro programó Descifrando Enigma. En los enlaces les referencio a la reseña que hicimos de cada una de ellas. A ver si este año que empieza podemos dar cuenta de otras películas, al menos del interés y calidad de estas dos más que de la primera. Esperemos. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 03 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

527. ¿Quieres regalar juguetes? ¿Por qué no regalar un cubo?

ABC, 23 de Diciembre de 2019 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Fernando Blasco Existen innumerables puzles y juegos basados en los hexaedros, aparte del famoso cubo mágico de Rubik La proporción áurea está presente en muchas formas de la Naturaleza - Archivo Llegan unas fechas en las que nos solemos hacer regalos y, quizás, sea el momento de dedicar una primera columna a algunos juguetes con bastante trasfondo matemático. Habría para escribir varias, o incluso un libro entero, por lo que de vez en cuando continuaremos con esta idea. El primer «juguete» al que vamos a dedicar nuestra atención es al que se conoció como cubo mágico, inventado en 1974 por el profesor de arquitectura Ernö Rubik, con la intención de mostrar a sus estudiantes las propiedades del espacio tridimensional y poder estudiar también cómo se producen los giros en el espacio. Los lectores sin duda saben de qué se trata, puesto que casi 50 años después de su invención sigue siendo un objeto de moda e incluso se organizan campeonatos en los que se muestra la destreza de los aficionados a su resolución. El primero que hizo un estudio matemático sobre este cubo, desarrolló una notación para poder describir los movimientos que se hacen en él y publicó una de las primeras soluciones conocidas fue David Singmaster, matemático americano que en aquel momento trabajaba en Londres. Singmaster es, entre otras cosas, coleccionista de puzles mecánicos y libros y un estudioso de la historia de la matemática recreativa. En la imagen (tomada el pasado enero en un congreso sobre matemática recreativa en Lisboa) aparece con un prototipo que le había regalado el propio Ernö Rubik. Es posible que aparezca este en los comercios del mismo modo como han aparecido muchas otras variaciones de este juguete, que no fue concebido como tal sino como un instrumento didáctico. El matemático americano David Singmaster El cubo soma Otro cubo famoso, que necesita un poco más de presentación, es el cubo soma, patentado en 1930 por Piet Hein, otro polímata con formación de ingeniero pero muy centrado en el diseño y también en la arquitectura (además de ser filósofo y presidente de la unión anti nazi en su país). Estaba muy interesado por las matemáticas y por la ciencia en general y, parece ser, que fue durante una conferencia de Werner Heisenberg sobre física cuántica cuando se le ocurrió el diseño definitivo de su juguete. El cubo soma puede pensarse como un tangram tridimensional que consta de 7 policubos. Los siete policubos que forman el cubo soma Estas piezas pueden combinarse entre sí para formar un cubo. En 1961 John Conway y Michael Guy contabilizaron 480 maneras de resolverlo (240 «originales» y otras 240 imágenes especulares de las anteriores). Además de formar un cubo con las 7 piezas del puzle se puede formar otra casi infinidad de figuras que incluyen sillas, sofás, camas e incluso lápidas. Un listado muy numeroso puede encontrarse en este enlace. En la misma línea que el cubo soma, pero bastante más complicado de resolver puesto que consta de 13 policubos para formar un cubo de 4x4x4 cubos unitarios es el creado por Bruce Bedlam, inventor de rompecabezas mecánicos pero que también ha querido resolver otro importante rompecabezas: el misterio que se esconde tras la formación megalítica Stonehenge. Algunas de las 480 formas de combinar los siete policubos del cubo soma La resolución del cubo de Bedlam no es nada sencilla, pero intentarlo proporciona un atractivo pasatiempo intelectual y una gran satisfacción en el momento que se consigue. Si no fuésemos capaces, siempre nos queda el recurso de consultar la solución: Scott Kurowski, un consultor informático para aplicaciones científicas, matemáticas y de negocios, ha establecido una notación y ha hecho un programa que nos permite resolver el cubo, esto es, disponer las piezas de modo que puedan entrar en la caja con la que se entrega. Su aportación puede consultarse en esta página. Los 13 policubos del cubo de Bedlam Dígitos en caja Una idea similar, pero mucho más sencilla de resolver, es la que nos ofrece el rompecabezas conocido como «dígitos en una caja». El problema que plantea aparentemente es muy simple: meter los dígitos de los que consta en la caja con la que se entrega. Según las propias instrucciones que se acompañan, hay más de 4.000 soluciones posibles. El inventor del juego, Eric C. Harshbarger, es profesor de matemáticas en la Auburn University de Alabama y lo ideó con ayuda de un programa de ordenador. En la imagen se observa cómo los dígitos se entrelazan para minimizar el espacio que ocupan. Animamos al lector a que se atreva a resolverlo (se recomienda para edades mayores de 8 años). El rompecabrezas de los «dígitos en caja» Siguiendo con los cubos, podemos presentar uno, bastante desconocido, el Pentadron, diseñado por Jin Akiyama, un matemático japonés que además de desempeñar una importante actividad investigadora consiguió algo mucho más difícil: que el programa de matemáticas en la televisión educativa japonesa obtuviera altas cuotas de pantalla. Personalmente me fascinó la conferencia que hizo la primera vez que lo vi: era un acto en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid y Akiyama fue presentado por Miguel de Guzmán, profesor de esa facultad especialmente interesado en la educación y divulgación matemática, en una de sus últimas apariciones públicas. El pentadron, diseñado por Jin Akiyama Akiyama había venido a España a dar una serie de conferencias y la esa era la primera del ciclo. Traía un montón de materiales en la maleta y ésta no pasó el control de seguridad al llegar al aeropuerto de Barajas: la maleta quedó retenida y en vez de hablar de poliedros y disecciones tuvo que hablar de las matemáticas de la música, ayudándose de un acordeón que le prestaron. Años más tarde sí que pude escuchar su conferencia sobre disecciones en la Residencia de Estudiantes, invitado por el ICMAT, y tuve el honor de ser quien le presentó. Ese día fue cuando me regaló este Pentadron. El pentadron consta de 12 poliedros con caras magnéticas. Esos poliedros son «pentadrones» porque tienen 5 caras. De ellos 6 son iguales y los otros 6 son imágenes especulares de ellos. El reto fundamental es armar un cubo, pero en el proceso se obtienen muchas relaciones interesantes. Más que un puzle es un juego muy entretenido y muy didáctico. Los Inside3 Cubes Los Inside3 cubes son un nuevo concepto de rompecabezas. También tienen forma de cubo, como todos los que aparecen en el artículo, pero no consisten en un rompecabezas en el que haya que formar algo, sino en un rompecabezas en el que se debe interpretar algo. Hay varios niveles de dificultad pero la idea en todos ellos es la misma: en el interior del cubo hay un laberinto. Por una cara se ve una ranura en la que inicialmente se puede ver una bola. El cubo debe moverse para que la bola se vea por otra ranura que hay en la cara opuesta. Para sacar la bola por la otra cara tenemos una pequeña pista: en la cara original se ven los planos del laberinto: cómo son los corredores y cómo se pasa de un piso al otro. Aunque dicho así parezca sencillo, hay que echar un rato para interpretar los planos de este nivel. Tengo otros dos más difíciles y todavía no me he puesto con ellos, porque hay que dedicar tiempo de calidad. Un Inside3 Cube El Molecube Empezábamos por el cubo de Rubik y terminaremos, en este Año Internacional de la Tabla Periódica de los Elementos Químicos que también está a punto de terminar con un cubo completamente opuesto al cubo de Rubik. Si en ese el problema consistía en poner todas las caras del mismo color, en el Molecube el problema es que en cada cara no se repitan los colores. De algún modo este cubo puede pensarse como un «sudoku tridimensional»: si en el sudoku no puede aparecer un mismo número más de una vez en cada línea o sector en este ocurre lo mismo con los colores. Este es el reto que tengo que resolver en estos días. A ver si en el año nuevo puedo enviar una foto en la que no se repitan colores. En el Molecube el reto es que en una misma cara no se repita ningún color Desde la Real Sociedad Matemática Española aprovechamos para desearles que pasen unas felices fiestas y que disfruten de ellas. Fernando Blasco es profesor de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid, miembro de la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y miembro del Comité de Sensibilización Pública de la Sociedad Matemática Europea. El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)

Lunes, 23 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

528. 59. (Enero 2020) Horas itálicas, bohémicas, babilónicas y otras

(Torre de los relojes solares. Liceo Louis le Grand. París) La medida del tiempo está vinculada a la astronomía. La destreza astronómica de los sabios de la antigua Mesopotamia hace que algunas de las formas de medida hayan pervivido durante milenios como el sistema sexagesimal y los días astrales de la semana. Pero no todo ha sido uniforme y tan estable; como muestra nos fijamos en la torre de los ocho relojes solares del patio del prestigioso Liceo Louis le Grand en París que muestra cinco formas de medir las horas: europeas, itálicas, babilónicas, medias y siderales. No son las únicas, desplazándonos al patio principal (Cour d’honneur) del Palacio Nacional de los Inválidos nos encontramos otro conjunto relojero que incorpora además las horas planetarias. (Reloj con horas planetarias. Palacio Nacional de los Inválidos. París) Hasta finales del siglo XIX, en España hasta 1900, no se empieza a establecer una forma universal que desembocará en el actual Tiempo Universal Coordinado (UTC) y que tiene su antecedente en la Tiempo Medio de Greenwich (GMT). Las horas eran locales y marcadas por la posición del Sol en el lugar. Los avances en los transportes y las comunicaciones como el ferrocarril y el telégrafo pusieron fin a las horas locales: los relojes solares sufrieron el descalabro definitivo. Las llamadas horas europeas son las habituales: dividen el día en 24 horas iguales siendo el medio día solar las 12. Son las más sencillas para hacer un reloj solar pues basta con un gnomón orientado según el eje de rotación de la Tierra que dará su sombra sobre un plano ecuatorial con una rotación de 15º a la hora. Tomando muros orientados al sur se construye fácil un reloj que aproveche al máximo la insolación. Cuando en un mismo reloj se dan las horas europeas y otras, se reserva para ellas los números romanos. Suele ser una convención que se respetaba. Las horas itálicas usaban el momento de la puesta del Sol (el ocaso) como inicio. El mismo criterio que se usaba en la antigua Bohemia y que encontramos en Praga por doquier. Horas itálicas y bohémicas son lo mismo: días de 24 horas que se inician en el ocaso. El mediodía solar va cambiando a lo largo del año de forma muy apreciable y más cuanto más al norte: en Praga oscila entre las 15h 55m al comenzar el verano y las 20h 55m en el comienzo del invierno. La ventaja de la hora itálica es que nos permite saber cuántas horas nos quedan hasta el anochecer por simple diferencia, algo bastante útil cuando la insolación marcaba el horario laboral o de marcha. Las horas babilónicas son similares a las itálicas pero empiezan a medir desde el amanecer (aurora u orto, según relojes). Las diferencia entre las itálicas y las bohémicas será de doce horas solo en los dos equinoccios. (Reloj con horas europeas, itálicas y babilónicas. Monasterio de Santa María del Paular) La construcción de relojes con horas itálicas y babilónicas requiere el mayor virtuosismo pues se necesita dibujar las hipérbolas de los solsticios para tener en cuenta la duración diferente de los días. El primer tratadista moderno en castellano de relojes de sol, el bachiller Juan Pérez de Moya en su Tratado de cosas de Astronomia, y Cosmographia, y Philosophia Natural (Alcalá, 1573), que enseña a construir relojes de varios tipos, se limita a explicar como se pasa de las horas españolas a las itálicas y bohémicas (que confunde con las babilónicas) por cálculo manual sencillo pero sin la construcción. Pérez de Moya es más conocido como autor del exitoso tratado de álgebra que se reedito múltiples veces durante dos siglos. Las horas medias tienen en cuenta la pequeña variación del día medio con el día solar (inferior a 20 minutos) a lo largo del año como consecuencia de dos efectos: la excentricidad de la órbita terrestre y la inclinación del eje de rotación. La manera habitual de corregirlo es dibujar la analema, la lemniscata no simétrica, que aparece en muchos relojes que es una forma de representar la ecuación del tiempo. La hora sideral, tiempo sidéreo, se calcula por la posición de las estrellas y no por la del Sol. La paralaje de las estrellas hace inapreciable la translación de la Tierra y el día sideral medio es cuatro minutos más corto que el solar. La hora planetaria o artificial divide el día y la noche en doce horas iguales por tanto la duración de unas y otras son distintas y van cambiando, a su vez, a lo largo del año. La hora planetaria es de tradición romana y recibe su nombre por su vinculación astrológica con los planetas: lunes empiezan con la Luna y así hasta el domingo que terminan empezando por el Sol. Mostramos a continuación algunos ejemplos de presencia de las distintas horas: El reloj astronómico de Praga Hay objetos y lugares que no necesitan presentación. El reloj de la parte baja de la torre del viejo ayuntamiento de Praga es uno de ellos porque es ya un símbolo de la ciudad y Patrimonio de la Humanidad. La zona superior muestra autómatas añadidos en el siglo XIX, la esfera inferior (1490) es un calendario con su abigarrado santoral y la espectacular esfera central (1410) es el reloj astronómico que da la hora solar oficial, las antiguas horas bohémicas, las fases y movimiento de la Luna, y tanto la posición del Sol en el zodiaco como la situación diurna /nocturna o crepuscular. (Reloj astronómico con horas bohémicas en la esfera exterior. Antiguo Ayuntamiento. Praga) La esfera astronómica es fruto de la colaboración del relojero Nicolás de Kadan con el matemático Jan Sindel. El reloj mecaniza las funciones del astrolabio plano: una proyección estereográfica de la esfera celeste de origen griego y que fue perfeccionada y extendida por la astronomía árabe. El astrolabio plano proyecta sobre el ecuador usando como foco el polo sur. La esfera de Praga cambia el foco al polo norte lo que facilita la visualización de los círculos excéntricos de la noche y el crepúsculo. La proyección determina tres círculos estáticos concéntricos: el exterior es el trópico de cáncer, el pequeño es el de capricornio y el intermedio es el ecuador. El círculo excéntrico móvil es la eclíptica, la posición aparente del sol en el sistema geocéntrico, que va moviéndose desde un trópico al otro. No es otra cosa que la inclinación del eje de rotación de la Tierra respecto al eje del plano de su traslación (23º 27´). Esta inclinación determina las estaciones del año y el acortamiento/alargamiento de la insolación diurna. El círculo fijo excéntrico negro es el correspondiente a las antípodas de la latitud de Praga (50º) para un almucantarate (paralelo local) de 72º (90º – 18º del crepúsculo). Marca la noche cerrada y oscura. El círculo fijo excéntrico color naranja es el interior del almucantarate de 90º, el horizonte local, realmente es una corona circular entre 72º y 90º que la proyección hace excéntrica. Marca los crepúsculos del amanecer (aurora o alba) y el del atardecer, cuando el Sol se ha ocultado pero la luz solar alcanza a verse por refracción. Los puntos de orto y ocaso son la salida (visual) y ocultamiento del Sol. La aurora se anticipa a la salida del Sol por la refracción de la luz en la atmósfera terrestre, y lo mismo con el crepúsculo del ocaso. Los 18º del crepúsculo astronómico son una herencia de la astronomía andalusí. La posición del Sol sobre la eclíptica se divide en 12 partes que son los signos del zodiaco. Las 24 horas actuales se marcan en números romanos sobre el círculo fijo. Las 24 horas bohémicas utilizan numerales arábigos antiguos y van sobre la corona exterior móvil porque marcan las horas transcurridas desde el ocaso anterior (igual que las horas italianas) y por tanto cambian día a día a lo largo del año. A 50ºN de latitud la insolación va modificándose desde un mínimo de 7 horas 50 minutos en el solsticio de invierno a un máximo de 16 horas 10 minutos en el solsticio de verano. Por tanto las 12 del mediodía solar oscilan entre las 20h 55m en el comienzo del invierno y solo las 15h 55m al comenzar el verano. Horas itálico-babilónicas de El Paular en Rascafría (Madrid) La antigua Cartuja Santa Maria de El Paular, hoy monasterio benedictino, ha recuperado gran parte de su valor artístico con la devolución de la Sillería y las pinturas de Vicente Carducho del Claustro, que sumadas a su Altar Mayor, Rejería y Obra, hacen que sea un lugar de máximo interés. Nos fijamos en el bello templete octogonal de los relojes solares que ocupa el centro del claustro. Hay tres relojes convencionales (declinantes) en la parte superior que marcan la hora solar del lugar, pero lo excepcional es el reloj de horas itálicas y babilónicas de la parte inferior. Tras la restauración de hace unos años luce todo su inmenso valor. (Templete con los relojes solares. Claustro del Monasterio de Santa María del Paular) Las horas itálicas substractivas son las que faltan para el ocaso y las horas babilónicas las que han transcurrido desde el orto. Sumadas dan la duración del día en la época del año. En la latitud de El Paular el día máximo dura unas 15 horas (solsticio de verano) y el mínimo 9 horas (solsticio de invierno). Conocer las horas de insolación disponibles era lo adecuado para realizar trabajos o continuar un viaje. Un puntero cónico de unos 35 centímetros hace de gnomón del reloj de índice: la punta indica las horas. Las líneas azules son las AB ORTV y las rojas las AB OCASV. Obsérvese la hipérbola superior del solsticio de invierno y la marcada parcialmente abajo del solsticio de verano. La línea recta del equinoccio es el trazo discontinuo no pintado. Si se suman los valores rojo y azul que se cruzan en el equinoccio dará 12. El reloj fue calculado y ejecutado por Fray Martín Galíndez, pintor, escultor y matemático que ingresó en la Cartuja en 1584. Los relojes solares del Clementinum en Praga El Clementinum, el enorme complejo jesuítico tiene un delicioso conjunto de catorce relojes solares del siglo XVII que permanecen casi ocultos en dos patios no accesibles. (Reloj con horas europeas, bohémicas y babilónicas. Clementinum. Praga) No hay certeza sobre la autoría pero es muy verosímil que fueran calculados por el astrónomo jesuita Valentin Stansel (1621-1705), nacido en Moravia y fallecido en Brasil, que fue profesor en Praga antes de enseñar en Évora y San Salvador de Bahía. Uno de los relojes está fechado en 1658, época que coincide con el magisterio de Stansel en el Clementinum. Los relojes dan las horas bohémicas (desde el ocaso, como las itálicas), babilónicas (desde el orto) o las solares convencionales. En algunos se mezclan los tres tipos de horas. Los muros están orientados según los puntos cardinales, de forma que hay relojes al sur, este y oeste. Salvo el reloj visible situado en la torre astronómica, que es posterior, los otros trece están en dos patios. Cuatro se localizan en el que se utiliza de aparcamiento y donde es fácil entrar; los otros nueve en un bonito patio trasero con fuente. Las horas bohémicas y babilónicas usan las hipérbolas de los solsticios para calcular las marcas adecuadas. Suelen ser relojes de puntero horizontal perpendicular al muro salvo en los convencionales cuyo gnomón es el paralelo al eje de la Tierra. La meridiana del Duomo de Castroreale Castroreale, un impresionante promontorio fortificado del norte de Sicilia desde el que se dominan la costa y sus islas próximas con muchos recuerdos de la época española. Sicilia es un reducto de recuerdos de la hora itálica tanto en los relojes como el de la catedral nueva de Ragusa como en las meridianas de cámara oscura de sus iglesias. (Relojes europeo e itálico. Fachada del duomo nuevo. Ragusa) El Duomo di Santa Maria Assunta de Castroreale es una iglesia de mucho interés con mirador sobre el Mediterráneo. Destacan sus continuas referencias, hasta ocho llegamos a contar, a Philippo IIII Siciliae Hispaneae Rege Potentissimo. La meridiana, diseñada por el lugareño Nicoló Perroni Basquez en 1854, es muy rústica y a su vez muy elaborada pues tuvo que vencer dos columnas que la obstaculizaban. La línea está marcada sobre un bonito pavimento de mármol que es digno de estudio por la variedad de sus grupos de simetría. Perroni marca la hora a la italiana para los distintos meses: el mediodía solar son las 16:10 en Cáncer y las 18:50 en Capricornio. En la imagen vemos como en octubre el mediodía solar son las 17: 40 en horas itálicas. (Meridiana de cámara oscura con horas itálicas. Duomo. Castrireale) La meridiana va atravesando las naves y las múltiples sillas que impiden la lectura pero su orificio gnomónico está abierto y sigue funcionando. Sicilia, y sobre todo la iglesia, seguía aferrándose a los antiguos usos de medida del tiempo en vísperas del desembarco de Garibaldi.

Jueves, 02 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

529. 131. (Enero 2020) Composición nº1, de Marc Saporta

Una tirada de dados jamás abolirá el azar. Stéphane Mallarmé Un Coup de Dés jamais n’abolira le Hasard –Una tirada de dados jamás abolirá el azar– es el título de un poema de Stéphane Mallarmé (1842-1898) publicado en 1897. Compuesto en forma de versos libres, es uno de los primeros poemas tipográficos de la literatura francesa. El título de este poema, junto a su autor, aparece en el colofón del libro Composición n01 de Marc Saporta (1923-2009) en su traducción al castellano publicada por la editorial Capitán Swing en 2012. La primera versión, en francés, fue publicada en 1962 por la editorial Le Seuil. Composición n01 es una novela compuesta por 150 hojas no encuadernadas, no numeradas, escritas por una única cara e introducidas al azar en una caja. Fotografía de Marta Macho Stadler. En el prefacio, el autor explica las ‘instrucciones de uso’ de su novela y proporciona algunas claves sobre la lectura: Se ruega al lector que mezcle estas páginas como una baraja. Que las corte, si lo desea, con la mano izquierda, igual que una echadora de cartas. El orden en el que salgan las hojas después de hacerlo orientará el destino de X. Porque el tiempo y el orden de los acontecimientos regulan la vida más que la naturaleza de estos acontecimientos. Sin duda, la Historia impone un marco: la pertenencia de un hombre al maquis y su paso por las tropas de ocupación en Alemania pertenecen a una época determinada. Asimismo, los hechos que marcaron su infancia no pueden presentarse como vividos en la edad adulta. No obstante, no es indiferente saber si conoció a su amante, Dagmar, antes o después de su matrimonio; si abusó de la pequeña Helga durante su adolescencia o su madurez; si el robo que cometió tuvo lugar bajo el abrigo de la Resistencia o en tiempos menos turbulentos; si el accidente del que fue víctima carece de relación con el robo (o la violación) o si tuvo lugar durante la huida. Del encadenamiento de las circunstancias depende que la historia acabe bien o mal. Una vida se compone de elementos múltiples. Pero el número de composiciones posibles es infinito. El libro de Marc Saporta ‘cuenta’ una historia de un personaje misterioso. Una, y no la historia, porque el relato transcurre dependiendo del orden en el que se colocan las hojas tras barajarlas, como indica el autor en el prefacio. Cada página corresponde a un episodio procedente de los recuerdos del personaje X. Este narrador aparece como un ladrón y un violador. De hecho, dos de las páginas de Composición n01 se dedican a citar algunos artículos –entiendo que eran los que estaban vigentes en Francia cuando Saporta publicó su texto, en 1962– relativos a los delitos de robo y violación. Al recorrer las páginas de esta singular novela, la historia va incorporando diferentes personajes, algunos de los cuales son recurrentes: Marianne –la esposa de X–, Dagmar –su amante– o Helga –una joven a la que X viola– aparecen en numerosas ocasiones, mientras que otros personajes solo son citados en una de las páginas. Cada una de las hojas corresponde a un marco espacio-temporal que cambia continuamente. El lugar elegido –una ciudad ocupada por el ejército alemán, el patio de una escuela o el apartamento de alguno de los personajes– depende de lo que el azar dispone tras barajar las páginas del libro. Aunque pienses que estoy intentando ‘destripar’ la versión de Composición n01 que he leído, no pasa nada; es bastante improbable que, tras barajar las páginas del libro, la versión que tú vas a leer sea la misma que la mía… Fotografía de Marta Macho Stadler. El prefacio de Marc Saporta termina con la frase: Pero el número de composiciones posibles es infinito. En realidad, Composición n01 no contiene infinitas versiones de la historia de X. Aunque es cierto que contiene “muchas”. De hecho, al haber 150 páginas que pueden ordenarse de manera aleatoria, el número de novelas distintas que podemos leer es la factorial de 150 –son las permutaciones sin repetición de 150 elementos–. Para hacernos una idea de esa cantidad de versiones, la factorial de 150 es el número: 571338395644585459047893286526105400318955357860112641825483758331798291248453983931265744886753111453771078787468542041626662501986845044 66355949195922066574942592095735778929325357290444962472405416790722118445437122269675520000000000000000000000000000000000000, número que está formado por 263 cifras y finaliza con 37 ceros. Redondeando, la factorial de 150 es aproximadamente 5,7 x 10262. Y, efectivamente, es un número muy, muy grande… pero no infinito. Referencias Una tirada de dados jamás abolirá el azar de Stéphane Mallarmé (Una propuesta estético-filosófica de Juan David García Bacca, incluida en su obra "Necesidad y Azar. Parménides y Mallarmé", Editorial Antrophos, Barcelona, 1985), Revista aesthethika 12 (2), septiembre 2016. Caos e invención, pág. 53-54 Marc Saporta, Composición no1, Capitán Swing, 2012 Nota: Esta reseña se ha publicado previamente (25 de diciembre de 2019) en el blog Cuaderno de Cultura Científica de la Cátedra de Cultura Científica de la UPV/EHU con el título Composición nº1, la historia de X gobernada por el azar.

Miércoles, 01 de Enero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

530. El desafío matemático de la Lotería de Navidad: un reintegro de otro planeta

El País, 16 de Diciembre de 2019 LOTERÍA DE NAVIDAD Adolfo Quirós

Lunes, 16 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más