641. 139. La simetría de las emociones

Matemáticas, Geometría, Simetría, Arquitectura. Cuatro pilares que pueden condicionar la forma de afrontar las decisiones de la vida de las personas. Y en el espectador lo que está viendo. Los que habitualmente seguís esta sección, habréis notado en diferentes ocasiones cómo el que esto escribe crítica con cierta dureza (y bastante sorna, la verdad) todo lo relacionado con lo seudocientífico, esotérico y supuestamente misterioso. No niego que hay enigmas por resolver (todo un aliciente para la ciencia), pero las explicaciones o más bien, impresiones y seudorazonamientos, de los que juegan a ser investigadores me parecen sencillamente inadmisibles, dado que las cosas bien hechas necesitan tiempo, mucho tiempo de análisis, experimentación, estudio, etc., antes de poder concluir con cierta precisión. Y por supuesto, tiempo es lo que no les sobra a los que necesitan llenarse los bolsillos rápidamente (no se deben incluir a todos en el mismo saco, puesto que supongo que habrá quienes sean “legales”, o sencillamente fueron mal encaminados en sus trabajos, aunque sospecho que son una minoría, a tenor de lo que se ve y oye). Comienzo con esta perorata, sencillamente porque en esta ocasión no voy a tratar aspectos puramente matemáticos como en otras ocasiones, sino otros más relacionados con la subjetividad, con las emociones, aunque por supuesto, las matemáticas están detrás. Les voy a comentar una película en la que la forma en que se ha concebido, la composición de sus imágenes, provocan sensaciones que pueden ser muy diferentes dependiendo del estado de ánimo o de la persona que las contempla, lo cual no es demasiado matemático, lo reconozco. Pero somos humanos, y además de una mente privilegiada (aunque en muchos no se note demasiado), tenemos sentimientos, hormonas, nervios, conexiones físico-químicas que nos hacen diferentes a una máquina, y nos provocan estados de ánimo. Disfruté de la película que voy a comentar el pasado lunes 11 de marzo y aunque no me llenó completamente, es innegable la maestría de su puesta en escena, de sus meditados encuadres, en los que la simetría es dueña absoluta de todo el metraje de principio a fin. Comencemos, como es habitual, por su ficha técnica y artística: Ficha Técnica: Título: Columbus. Título Original: Columbus. Nacionalidad: EE. UU., 2017. Dirección:  Kogonada. Guion: Kogonada. Fotografía: Elisha Christian, en Color. Montaje: Kogonada. Música: Hammock. Duración: 104 min. Ficha artística: Intérpretes: John Cho (Jin), Haley Lu Richardson (Casey), Parker Posey (Eleanor), Michelle Forbes (Maria), Rory Culkin (Gabriel), Erin Allegretti (Emma), Shani Salyers Stiles (Vanessa), Reen Vogel (Limpiador), Rosalyn R. Ross (Christine), Lindsey Shope (Sarah), Caitlin Ewald (Camarero), Jim Dougherty (Aaron), Joseph Anthony Foronda (Prof. Jae Yong Lee), Alphaeus Green Jr. (Guía del ICC), Wynn Reichert (Guía de la Casa Miller), Jem Cohen (Empleado), Tera Smith (Empleado del Hospital), William Willet (supervisora de Maria). Sinopsis: Jin, un joven coreano que vive en Seúl, debe trasladarse a la ciudad de Columbus, en los Estados Unidos, después de que su padre, un famoso arquitecto, entre en coma. De forma casual, conoce a Cassey, una chica mucho más joven, que no ha salido nunca de esta ciudad, y a la que le apasiona la arquitectura. Ambos se encuentran en una situación parecida, uno por su padre, la otra por su madre. Cassey propone a Jin enseñarle sus lugares favoritos de Columbus, explicándole las razones de sus elecciones. Sus encuentros y conversaciones se enmarcan en la omnipresencia de un paisaje urbano que, sin percatarse de ello, va a ir condicionando su modo de entender su existencia. Un lugar emblemático Toda la película, rodada en 18 días, se desarrolla en la localidad de Columbus, en el estado de Indiana, que según el último censo tiene en torno a los 44000 habitantes que se distribuyen en 71 kilómetros cuadrados. Es decir que no es un lugar con muchos habitantes, pero ocupan poca extensión por lo que la densidad de población es alta, unos 620 habitantes por kilómetro cuadrado. Lo que es destacable es la gran cantidad de edificios singulares en proporción, y de renombrados arquitectos, por lo que se la ha denominado la Atenas de la Pradera. La mayor parte de estilo moderno (siglo XX; no confundir con modernista que es otra cosa bastante diferente). El Instituto Americano de Arquitectos ha clasificado a Columbus en el sexto lugar en la nación en innovación y diseño arquitectónicos, justo detrás de Nueva York, Chicago, Boston, San Francisco y Washington, DC. Columbus tiene una arquitectura fascinante porque en la década de 1950 el industrial y filántropo J. Irwin Miller (de la Cummins Engine Company) decidió que quería vivir en una ciudad más interesante visualmente. Para lograrlo, Miller se ofreció a pagar las facturas de los arquitectos por cualquier nuevo edificio público que se construyera en Columbus. Años después, asumiendo la necesidad de expandirse de un modo responsable, Columbus ratificó un nuevo plan urbanístico para el centro de la ciudad en 1972. El plan, concebido y ejecutado por Skidmore, Owings y Merrill, firma arquitectónica popularmente conocida por sus siglas, SOM (se constituyó en Chicago por Louis Skidmore y Nathaniel Owings en el año 1936, a los que posteriormente, en 1939 se incorporó John Merrill), agrupó edificios de acuerdo a su uso creando zonas de actividad relacionada, y con el objetivo fundamental de que las nuevas construcciones respetaran la escala y el carácter histórico presentes en todo el núcleo histórico de la ciudad. Hoy, Columbus cuenta con más de 70 edificios diseñados por arquitectos del renombre de I. M. Pei, Eliel Saarinen, Eero Saarinen, Richard Meier, Eliot Noyes y Harry Weese, entre otros, además de los ya mencionados. Esta singularidad seguramente es la que atrajo al director coreano Kogonada a considerarla como idónea para desarrollar su primer largometraje de ficción, además de ser ideal para rodar tranquilamente dada la pequeña población que la habita (en comparación con esas otras ciudades arquitectónicamente potentes mencionadas anteriormente). Recorremos algunos de esos edificios (aparecen muchos más, pero basta una muestra para hacernos una idea de cómo el realizador ha ido buscando la simetría casi obsesivamente). En la primera imagen vemos a la pareja protagonista sentada en las escaleras de entrada al edificio que alberga el Ayuntamiento y el Departamento de policía, obra de la citada firma SOM, finalizada en 1981. Su planta es un triángulo rectángulo, y la fachada principal (la que vemos en la imagen) es la hipotenusa del mismo. La entrada principal se ubica en el punto medio de la hipotenusa y está nivelada con su segundo piso. Dicha entrada está enmarcada por un muro cortina semicircular de dos pisos, totalmente acristalado y curvado cuya geometría se eligió específicamente para generar reflejos del edificio histórico del palacio de justicia que se encuentra adyacente. Dos niveles de escaleras anchas y suavemente inclinadas conectan la esquina del sitio con la entrada. En la parte superior, dos enormes paredes de ladrillo en voladizo se extienden a lo largo de toda la hipotenusa. Dichas paredes se acercan una a la otra, pero no se encuentran en el centro, dejando un hueco por el que se vislumbra también simétricamente la parte de atrás. Las paredes delimitan enfáticamente la entrada al tiempo que sirven como una reinterpretación del frontón clásico de fachada. La base del edificio es como un pedestal que contrarresta visualmente el robusto voladizo. El edificio es paralelo a las calles adyacentes al nivel del suelo, lo que hace que sea fácilmente accesible a través de entradas separadas y estacionamientos en la superficie orientados a la parte trasera del edificio. Tanto éste como otros edificios, aparecen varias veces a lo largo del metraje de la película, desde diferentes perspectivas, pero siempre buscando la más completa simetría. La música sutil, tenue, vaporosa, y disfrutar la proyección en pantalla grande hace que el espectador se sienta uno más en la ciudad. La iglesia cristiana del Norte, de Eero Saarinen, inaugurada en 1964, es otro de los edificios en los que el realizador se ha recreado delicadamente, apareciendo desde la distancia necesaria para admirar su estructura completamente. Una delgada y afilada aguja metálica se eleva hasta los 59 metros sobre el centro de esta iglesia hexagonal, mientras que un óculo en su base deja pasar la luz. Fue el último edificio que concibió Saarinen antes de su prematura muerte. El interior se organiza alrededor de la mesa central de la comunión, con asientos escalonados a cada lado del órgano dispuesto también en forma hexagonal. A la vez que van profundizando en sus problemas personales, Casey va describiendo a Jin, de acuerdo a un baremo personal, cada uno de los lugares que más admira de la ciudad. Su preferido es el de la Primera Iglesia Cristiana, diseñada por Eliel Saarinen, y terminada en 1942. Fue el primero de Columbus de acuerdo al plan de ordenación urbana comentada anteriormente y también una de las primeras iglesias en EE. UU. de estilo moderno. Como vemos en la imagen predomina la estructura cuboide, en la que también está presente el gusto en este caso por lo asimétrico del arquitecto (el reloj de la torre a un lado, la cruz descentrada). La torre tiene una parte superior perforada que permite que los sonidos del órgano salgan al exterior. En contraste con las líneas rectas de la iglesia y la biblioteca donde trabaja Casey, en frente de la citada iglesia, encontramos (lo vemos también en la foto) una escultura en forma de arco de estilo amorfo en medio de la plaza. Fue sugerencia del arquitecto I. M. Pei, que diseñó la biblioteca. Henry Moore fue su autor, colocándolo en el centro de una rotonda ligeramente elevada. Moore dijo inspirarse en la naturaleza y concibió la escultura para que se pudiera caminar a través y alrededor. Se fundió en bronce en 50 secciones en Alemania Occidental trasladándose por el río Mississippi hasta Ohio, y después por la autovía interestatal hasta su montaje final en 1971. Otros arcos de bronce similares, pero más pequeños, de Henry Moore están diseminados por todos los EE. UU., pero éste es el mayor. Precisamente la Biblioteca Memorial Cleo Rogers (1969), es uno de los espacios que más aparece en la película, desde diferentes ángulos y perspectivas, pero siempre bajo la mirada simétrica que venimos indicando que monopoliza la película. Es un edificio de ladrillo rojo con fachada austera a la plaza pública que estamos describiendo. La luz se introduce a través de un gran tragaluz inclinado que recorre la mitad de la estructura, que ha sufrido diferentes añadidos y renovaciones desde su construcción. Finalmente, destacaré las perspectivas que Kogonada capta del edificio que alberga las oficinas del periódico The Republic (en la imagen se observa a la protagonista avanzando desde el fondo), obra también de la firma Skidmore, Owings y Merrill, finalizado en 1971. Al igual que el Centro de Conferencias Irwin (inicialmente el Irwin Union Bank, 1954) y la Casa Miller (1957), ambos diseñados por Eero Saarinen, son edificios de una única altura, recorridos casi por completo por enormes paneles de vidrio. El último de éstos fue residencia personal de J.  Irwin Miller y su esposa hasta su fallecimiento en 2008, siendo entonces adquirido por el Museo de Arte de Indianápolis, haciéndose accesible al público. Tiene 635 metros cuadrados, y fue amueblado por Alexander Girard. Dispone asimismo de un gran jardín (tanto el interior como el jardín son ampliamente mostrados en el film) diseñado por el arquitecto paisajista Dan Kiley. Prácticamente cada plano en cada escena es una composición geométrica de diferentes espacios y edificios de la ciudad. También aparecen espacios privados de los personajes, y primeros planos de los mismos, pero todo está totalmente condicionado al entorno, a la arquitectura. Sirva como muestra las dos siguientes imágenes, una de la habitación del hotel donde se aloja Jin, y otra de Casey de espaldas sobre el capó de un automóvil, pero guardando la simetría de la composición de un modo obsesivo. La película además de la simetría, mantiene una estructura argumental cíclica, sobre todo en cuanto a la imagen, y, no lo he comprobado, pero, muchas escenas del inicio de la película, aparecen también al final, como queriendo plasmar cómo la forma de pensar de los protagonistas ha cambiado, pero el entorno sigue siendo el mismo. Así el puente Stewart (en reconocimiento a Robert N. Stewart, alcalde de la ciudad durante tres legislaturas), terminado en 1999, es una estructura atirantada diseñada por la compañía J. Muller International, con 40 cables con forma de un ventilador. La segunda imagen es la denominada Posada (Inn) de los Irwin Gardens, hoy hotel para visitantes y anteriormente parte de la residencia del citado arquitecto J. Irwin Miller (muchas de sus habitaciones, son las que el protagonista Jin disfruta en la película; aunque aparece entrando en un hotel “normalito”, los interiores son de este otro lugar). En cualquier caso, no crean que Columbus se reduce a una colección de postales turísticas, hábilmente encuadradas y fotografiadas. Como dije al inicio, es un magnífico ejemplo de cómo la arquitectura, el entorno, condiciona completamente la percepción de una película (y quien sabe, si, como a los protagonistas, nuestra propia existencia). Como curiosidad cinéfila, Rory Culkin, el hermano menor de Macaulay, tiene un pequeño papel en la película (y en la biblioteca del lugar, je je je). Quien se esconde tras el seudónimo Kogonada Aunque la identidad de Kogonada (suele firmar como :kogonada) es casi desconocida, suele asistir a las proyecciones públicas de sus obras, y atender a las entrevistas. Por ejemplo, hace dos años, en marzo de 2016, estuvo presente en el jurado del 16º Festival de Cine de las Islas Canarias, dio una clase magistral y mostró algunas de sus creaciones. (ver entrevista concedida al programa Días de Cine de Televisión Española). Nació en Corea del Sur, y se ha dado a conocer sobre todo por sus ensayos en video, piezas cortas que analizan el contenido, la forma y la estructura de películas y series de televisión. Lo hace comentando las composiciones de los directores y haciendo montajes muy didácticos e ilustrativos sobre la mirada y estética particular de los directores de cine. Es colaborador habitual de la revista Sight & Sound y ha elaborado con frecuencia videos complementarios a los lanzamientos de las colecciones de películas de la marca The Criterion Collection. Su primer video-ensayo fue Breaking Bad // POV, en enero de 2012. Utilizando clips de la homónima serie de televisión estadounidense, muestra cómo se utilizan con frecuencia puntos de vista desde ángulos y objetos inusuales. Las obras de Kogonada son parte de un creciente movimiento de realización de trabajos de este tipo como forma visual de análisis, apreciación y crítica en Internet. Suelen centrarse en un tema particular o una estética que un cineasta usa regularmente a través de una filmografía o dentro de una sola obra. Podemos disfrutar de algunos de ellos en la plataforma Vimeo (pinchando en los enlaces, accedemos a ellos; no duran más allá de dos minutos). Algunos ejemplos son sus tres ensayos en video sobre la estética del director estadounidense Wes Anderson, que destaca, entre otras particularidades, por usar también encuadres inusualmente simétricos en sus películas. Estos ensayos los realiza mediante la yuxtaposición de imágenes, transmitiendo pensamientos a través de una disposición concreta.  Al comparar los ensayos escritos con los ensayos visuales, Kogonada observó cómo las palabras forman observaciones precisas y definitivas de las ideas, mientras que las imágenes pueden transmitir una idea particular, pero sin proporcionar una explicación definitiva. Explicó que "si quieres profundizar en la teoría, los textos son el medio perfecto ... Sin embargo, cuando estoy haciendo ensayos visuales, trato las palabras como algo complementario". Su principal referente cinematográfico (no lo esconde y se siente orgulloso de “imitar” sus planos y perspectivas) es el cineasta japonés Yasujiro Ozu. Tampoco esconde su admiración por el citado Wes Anderson, Stanley Kubrick, Robert Bresson o Alfred Hitchcock. Preguntado por el porqué de un seudónimo, sin esconderse para nada, explicó en una entrevista a través del correo electrónico de la revista Filmmaker que “Me gusta la idea de Chris Marker acerca de que su trabajo sea su trabajo. Nunca me he identificado mucho con mi nombre estadounidense, que siempre me resulta extraño ver o escuchar. Y me gustan mucho los heterónimos”. Enlaces a sus video-ensayos: Kubrick // One-point perperstive: https://vimeo.com/48425421 Wes Andersonv // From Above: https://vimeo.com/35870502 Tarantino // From Below: https://vimeo.com/37540504 Ozu // Passageways: https://vimeo.com/55956937 Eyes of Hitchcock: https://vimeo.com/107270525 Y un video explicativo sobre la película: Columbus: For those who feel lost: https://www.youtube.com/watch?v=esR6I8DSLuI Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 18 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

642. Concurso de fotografía: pizarras matemáticas

Con motivo de la celebración del Día de Pi y de su décimo aniversario, el BCAM pone en marcha una competición en la que buscarán la pizarra matemática más bonita y original. ¡Demuéstrales que tienes mucho arte con la tiza o el rotulador y podrás ganar un fantástico premio! Más información en: https://wp.bcamath.org/news/es/concurso-10oaniversario-bcam/?platform=hootsuite

Viernes, 15 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

643. Regresa el reto matemático: desvelando lo que las sumas esconden

ABC, 11 de Marzo de 2019 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

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644. 52. (Marzo 2019) El octaedro estrellado

(Octaedro estrellado y rosario. Museo de la Opera del Duomo, Pisa) El octaedro estrellado es uno de los sólidos cóncavos representados por Leonardo da Vinci para ilustrar De divina proportione de Luca Pacioli. El poliedro tiene características que le hacen muy interesante. Al completar cada una de las caras de un octaedro con ocho tetraedros se obtiene un poliedro cuyos ocho vértices extremos forman un cubo. Además la figura puede verse como una macla de dos tetraedros insertados de arista doble de la del octaedro. Los vértices del octaedro estrellado son la disposición más visual  de uno de los dos empaquetamientos óptimos de esferas: el sistema cúbico centrado en las caras. Si vamos uniendo los cubos, formando una malla, lo que nos aparece es el arquimediano cuboctaedro, cuyo dual es el dodecaedro rómbico, el sólido de Catalá que rellena el espacio. Otro aspecto que no pasa desapercibido es que como cubo puede inscribirse en un dodecaedro regular: los artistas usarán la propiedad para mostrarlo. El octaedro estrellado en los Uffizi El Stanzino delle Matematiche, la pequeña sala de la Galería de los Uffizi donde los Médici albergaban sus dispositivos matemáticos, está decorada con frescos pompeyanos y sus motivos iconográficos son matemáticos. El único poliedro representado, un octaedro estrellado sólido, ocupa un lugar central. (Octaedro Estrellado. Galería de los Uffizi. Florencia) El octaedro estrellado en los diseños renacentistas alemanes Geometría et perspectiva (1567) de Lorenz Stöer es el libro de láminas que servirá de referencia a la marquetería alemana. En la portada y ocupando el lugar más elevado encontramos el octaedro estrellado. En otra portada no impresa de Stöer es donde vemos el octaedro estrellado inscrito en un dodecaedro regular. En una sola figura se encuentran cuatro de los cinco sólidos platónicos. También en Perspectiva corporum regularium (1568) de Wentzel Jamnitzer, el orfebre matemático de Nuremberg, encontramos repetidamente el diseño pero esta vez como derivado del tetraedro. (Perspectiva corporum regularium (1568). Wentzel Jamnitzer) El octaedro estrellado en la taracea de madera La taracea de madera del Renacimiento fue el lugar privilegiado de los poliedros tras los trabajos pioneros de Piero de la Francesca y Leonardo da Vinci que tuvieron su continuación en la perspectiva alemana. El octaedro estrellado aparece representado en uno de los primeros trabajos de intarsia prospettiva: los paneles de Filippo da Serravallino que se exhiben en el Museo de la Opera del Duomo de Pisa. Donde el octaedro estrellado se encuentra más cómodo es en la marquetería alemana: las puertas del Monasterio de San Lorenzo de El Escorial, el escritorio del Museo de Bellas Artes de Bilbao, el atril del Museo de Artes Decorativas de Fráncfort del Meno o el secreter de los poliedros del Museo de Artes Decorativas de Colonia. (Puerta alemana. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) (Contrapuerta del escritorio alemán.  Museo de Bellas Artes. Bilbao) (Atril.  Museo de Artes Decorativas. Fráncfort del Meno) (Contrapuerta del secreter.  Museo de Artes Decorativas.  Colonia) La representación más curiosa es la del atril de Fráncfort (abajo –derecha) donde tres caras del octaedro estrellado se ven a su vez estrelladas en nácar. En Dalí y el mobiliario urbano Terminamos dando cuenta de cómo Dalí, obsesivo con Leonardo, Velázquez o Millet, no deja de percibir el atractivo de los poliedros estrellados y los usa incluso para insertar la figura humana, como pone de manifiesto en sus delirantes 50 secretos mágicos para pintar (1951). El mobiliario urbano, y especialmente las farolas, suelen ser un lugar donde los poliedros se refugian. En la Plaza Europa de Zaragoza, junto al río Ebro, todo el alumbrado se hace con octaedros estrellados: hasta dieciséis farolas con los dos diseños: sólido y vacío.

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645. Recta o curva: ¿cuál crees que es la forma perfecta de un tobogán?

ABC, 25 de Febrero de 2019 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 25 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

646. Un reto matemático: lo que se esconde en una suma

ABC, 4 de Marzo de 2019 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 04 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

647. 169. (Marzo 2019) Cartas perforadas

Los más antiguos del lugar todavía recordamos la época prehistórica de la computación, cuando lo más parecido a un dispositivo portátil era un paquete de tarjetas perforadas, las cuales contenían el conjunto de instrucciones que debía seguir un gigantesco ordenador para realizar un simple programa. Y, ¡cuidado con perder una de ellas o alterar su orden si no queríamos pasar horas días semanas tratando de descubrir el error! Esas tarjetas de memoria -como la de la imagen que encabeza este artículo- eran cartulinas que podían contener hasta 80 columnas, las cuales, convenientemente perforadas para representar un código binario, almacenaban hasta 70 bytes de datos. Así que un miserable lápiz de memoria actual con 1GB de capacidad de almacenamiento sería equivalente a llevar 14 millones de tales tarjetas. Pero la idea original no se ha abandonado del todo: aunque ya no vemos las perforaciones, los dispositivos actuales también basan su funcionamiento en el uso de códigos binarios mediante "perforaciones" en secciones determinadas de su superficie. La diferencia está en su versatilidad, tamaño, capacidad, etc. Lo curioso de las tarjetas de memoria es que su origen no proviene de la informática sino de la industria textil. Fueron creadas en 1725 por Basile Bouchon y mejoradas en 1726 por Jean-Baptiste Falcon pero su despegue se produjo cuando, en 1801, Joseph Marie Jacquard creó un telar que funcionaba a base de tarjetas perforadas para la elaboración de los diseños. Solo entonces fue cuando Charles Babbage desarrolló en 1835 su famosa máquina analítica, la cual se programaba mediante tarjetas perforadas. Tarjetas perforadas de los telares de Jacquard Pues bien, este tipo primitivo de codificación permite idear juegos de magia basados en la aritmética binaria. Dejamos para una próxima ocasión más detalles sobre el funcionamiento de este tipo de juegos dejándote la oportunidad de que descubras por ti mismo los que te proponemos esta vez. El juego de este mes está descrito por uno de nuestros lectores, Javier Serrano, que es también gran aficionado a los juegos mágico-matemáticos como se puede comprobar recorriendo su página web (http://olmo.pntic.mec.es/~aserra10/). Cedo la palabra -mejor dicho, la redacción- a Javier. PREPARACIÓN Y MANIPULACIÓN DE LAS CARTAS Para preparar este juego necesitaremos ocho cartas, numeradas desde el A hasta el 8. Los palos de las cartas son indiferentes, pero hemos de asegurarnos de que todas las cartas pares sean de un color y las impares de otro. En este manual hemos optado por el rojo para las impares y por el negro para las pares. Ahora, a cada carta le vamos a hacer unos cuantos agujeros y unas cuantas ranuras. Los agujeros se pueden hacer con cualquier perforadora de papel. Para hacer las ranuras es conveniente hacer primero un agujero con la perforadora y, luego, con las tijeras, terminar de hacer la ranura. En la siguiente figura se muestran los agujeros y ranuras que deben hacerse en cada carta. Ya están las cartas preparadas. Ahora necesitamos hacernos con un clavo o un alfiler que pase por los agujeros de forma holgada. Una horquilla de pelo es muy recomendable porque sirve, además, para sujetar las cartas y evitar pérdidas. PRIMER EFECTO: EXTRAER LA CARTA ELEGIDA POR EL ESPECTADOR El matemago muestra las cartas para que se vea que están numeradas del As al Ocho, mientras explica que son cartas tecnológicas y que los agujeros son puertos USB. Le da el mazo a un espectador para que las baraje cuanto quiera y dice que el clavo es un ordenador portátil de último grito. Que es portátil salta a la vista por su tamaño, que es de último grito está claro porque si se lo clavara al espectador seguro que gritaría y que es un ordenador se pondrá de manifiesto inmediatamente, porque el clavo es capaz de ordenar, clasificar y seleccionar las cartas. Una vez recuperado el mazo, le pide al espectador que elija un número entre el 1 (el As) y el Ocho. Dicho este número, el mago opera como sigue: El matemago descompone mentalmente el número elegido N por el espectador como suma de 1, 2 y 4. Digamos N = a1 + a2 + a4, siendo ai ∈ . La única salvedad es que, si N = 8, entonces se descompone N = 0 + 0 + 0. La siguiente tabla da la descomposición en tres sumandos de todos los casos posibles: Nº elegido Sumandos 1 2 3 4 5 6 7 8 1+0+0 0+2+0 1+2+0 0+0+4 1+0+4 0+2+4 1+2+4 0+0+0 Pasa el clavo por el agujero superior. Si a1 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a1 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa. Con el paquete elegido (de 4 cartas), introduce el clavo por el agujero central. Si a2 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a2 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa. Con el paquete elegido (de 2 cartas), introduce el clavo por el agujero inferior. Si a4 = 0, se queda con la carta del clavo dejando la otra en la mesa. Si a4 ≠ 0, se queda con la carta de la mano dejando la otra en la mesa. La carta elegida es la del espectador. SEGUNDO EFECTO: SELECCIÓN POR COLORES Paquetes del mismo color Se le vuelve a entregar al espectador el mazo para que las mezcle de nuevo. El clavo, dice el matemago, no solo selecciona cartas por su número, también lo hace por su color. Y para que se vea claro que no hay trampa (en esto, el matemago ya ha metido el clavo por el agujero superior y ya tiene dos paquetes hechos, uno en la mano y otro en el clavo) le pide al espectador que decida él mismo dónde colocará el paquete del clavo, encima o debajo del paquete de la mano. El matemago sigue las indicaciones del espectador. Insistiendo en que es él quien decide, se introduce el clavo por el agujero central y se le vuelve a preguntar al espectador dónde coloca el paquete del clavo. Luego se hace lo mismo tras pasar el clavo por el agujero inferior. Formado el último mazo, el matemago reparte dos manos de cartas, una para el espectador y otra para él mismo. Cada paquete así formado contiene cuatro cartas del mismo color. Parejas de colores Resulta que el clavo, dice el matemago, no solo es un ordenador portátil de último grito, además es un romántico al que le gusta unir parejas, se cree que es Cupido el infeliz. El matemago, con el mazo en la mano, explica que en las cartas el amor se demuestra por el color, dos cartas rojas se quieren, dos cartas negras también se quieren, aunque quizá esto sea un poco racista. Podríamos hacer parejas también de distinto color, ¿qué prefiere usted? El espectador entonces elige hacer “parejas del mismo color” o “parejas de distinto color”. El mismo espectador baraja las cartas y él mismo será quien decida si, una vez arrastradas las cartas por el clavo, éstas se colocan encima o debajo del montón de cartas de la mano del matemago. No puede haber mayor libertad de elección. Siguiendo las instrucciones dadas por el espectador, el matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador. El matemago reparte dorso arriba, una al lado de otra, formando una fila, cuatro cartas sobre la mesa. Si el espectador eligió “parejas del mismo color” coloca la quinta carta sobre la primera, la sexta sobre la segunda, la séptima sobre la tercera y la octava sobre la cuarta; si el espectador eligió “parejas de distinto color”, entonces la quinta carta la deposita sobre la cuarta, la sexta sobre la tercera, la séptima sobre la segunda y la octava sobre la primera. En cualquier caso se forman cuatro parejas de cartas que, al voltearlas, forman pareja siguiendo los deseos del espectador. TERCER EFECTO: EFECTO DADO Mientras el espectador vuelve a mezclar las cartas, el matemago le pregunta si sabe cómo están colocados los números en un dado (o mejor, saca un dado y le pide que observe las caras opuestas). El caso es dejar bien claro que las caras opuestas de un dado suman siempre 7. Pues resulta que las cartas, que no son muy listas, no saben que son cartas y se creen que son un dado. El matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador. Las cartas se empeñan en ser un dado y lo demuestran colocándose, mágicamente, de forma que sus caras opuestas sumen 7, salvo el 8 claro, que en este caso no cuenta y se tomará como 0. Las caras opuestas de la baraja son la carta superior y la inferior. El matemago va formando parejas con estas cartas, la superior y la inferior, y las coloca boca arriba sobre la mesa, comprobando que, efectivamente, la suma de valores es siempre 7. Incluso en la pareja en la que aparece el 8 (que ahora vale 0) ya que la otra carta será el 7. CUARTO EFECTO: AÚN HAY MÁS Se le pide al espectador que vuelva a mezclar las cartas, haciéndole ver que ya las ha mezclado un montón de veces. Tras recoger el mazo de manos del espectador (y comprobar que todas las cartas queden con los agujeros a la derecha una vez colocadas de dorso), el matemago introduce el clavo por el agujero superior y coloca las cartas arrastradas por el clavo sobre las cartas de la mano. Tras recomponer el mazo, introduce el clavo por el agujero central y coloca las cartas del clavo sobre las de la mano. Finalmente, introduce el clavo por el agujero inferior arrastrando cuatro cartas que también coloca sobre las de la mano. Ahora voy a enseñarle una cosa prodigiosa, más prodigiosa aún que todo lo que hemos visto ya. El clavo, dice el matemago, ha colocado en primer lugar una carta que es mayor que cualquier número que usted diga. Piense usted cualquier número, no tiene por qué restringirse a los números que aparecen en una baraja, puede decir el número que usted desee, con las cifras que usted quiera. Estoy seguro de que el clavo ha colocado como primera carta del mazo una carta mayor que el número que usted diga. Cuando el espectador dice el número, el matemago le muestra la primera carta del mazo (que es el 8) y le pregunta si es mayor que el número dicho. Como el espectador dirá que no, el matemago extrañado mira la carta y le dice que la está viendo mal. Entonces la gira para ponerla horizontal y le dice que el valor de la carta es infinito y, por tanto, mayor que el número elegido por el espectador. El matemago coloca el 8 en la parte inferior del mazo, deja el mazo sobre la mesa y sigue la charla. Pero aún hay más, el clavo es también un adivino. Yo ahora le voy a pedir un número entre 1 y 8, pero el clavo ya sabe qué número va a elegir y no solo ha localizado esa carta sino que, además, la ha colocado en su lugar correspondiente, es decir, que si usted me dice 3, la carta número 3 ha de estar colocada en tercer lugar. ¿No es maravilloso? Veamos si es verdad. Fíjese que yo no toco las cartas, es el clavo quien ya lo ha hecho todo. Dígame un número entre 1 y 8. El matemago busca la carta que ocupe el lugar dicho por el espectador, la gira y efectivamente es la carta elegida. Pero aún hay más, el clavo no solo ha localizado y colocado su carta, además, como gran final, ha ordenado todas las cartas, mire: se voltean las cartas y a la vez se va diciendo su nombre: As, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho. Las cartas, efectivamente, aparecen en el orden que se dice. Comentarios finales: Como habrás comprobado, tienes frente a ti dos buenos ratos de entretenimiento: el primero cuando realices esta secuencia de juegos ante tu público y el segundo cuando trates de descubrir el funcionamiento matemático de los mismos. Para ello, deberás hacerte algunas preguntas como: ¿qué tipo de perforaciones tienen las cartas?; ¿cómo se distinguen las cartas rojas de las negras? Sí, yo también me he planteado preguntas del tipo: ¿por qué se utilizan solo 8 cartas?, ¿con qué otra cantidad de cartas se podrían realizar estos juegos?, ¿cómo deberían hacerse las perforaciones? Trataremos de responderlas en un futuro próximo pero no hay que ser adivino para suponer que, antes de nosotros, Martin Gardner ya se lo había planteado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Viernes, 01 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

648. Cristina Navarro (2)

El primer contacto, hace ya algunos años, con el arte de Cristina Navarro me dejó sin habla: ¡AQUELLO ERA UNA DANZA MATEMÁTICA EN COLORES! No sólo por la forma de los pequeños símbolos esquemáticos con los que trabajaba, sino porque aquellas flechas, triángulos, espirales, etc. estaban dispuestos formando secuencias que invitaban a ser continuadas. Además, al darle Cristina el mismo tratamiento a las grafías de lenguas antiguas, en aquellas tiras paralelas, te encontrabas, casi sin darte cuenta, ¡conectando la geometría con la escritura!, ¡con las palabras!. Era la primera vez que veía incorporar las matemáticas al arte como un elemento estético evidente, más allá de esas líneas invisibles y misteriosas que subyacen en la composición de un cuadro. Pero también en ellas. Y en el tamaño y proporción de las obras. Aunque en su biografía no se haga referencia a ninguna formación específicamente matemática, esa conexión ha sido una constante en las diversas etapas que han ido conformando la trayectoria artística de Cristina Navarro a lo largo de estos años. Actualmente, juega con módulos sencillos, probables representaciones metafóricas de elementos primitivos de su universo personal. Los esquematiza, dándoles un tratamiento geométrico, y construye con ellos: tótems, esculturas, pequeñas y estilizadas joyas de plata y, sobre todo, cuadros. Ves en ellos círculos, cuadrados, nubes de fractales de oro o plata… Te hacen pensar, incluso, cómo a partir de unos pocos axiomas y conceptos primitivos se crean verdaderos edificios matemáticos. Aunque, por supuesto, también puedes mirar los colores, las formas, la disposición de las piezas y jugar a adivinar. O recordar con añoranza las arquitecturas infantiles de madera. O, simplemente, disfrutar. Y, siempre, sonreír. Amelia Ruiz CRISTINA NAVARRO BIOGRAFÍA: Nace en Ceuta. Licenciada en Bellas Artes (BB.AA.) por la Universidad Complutense de Madrid y la Universidad Politécnica de Valencia en las especialidades de pintura y de grabado. Ha realizado más de cien exposiciones en España, Suiza, Holanda y Bélgica. Proyectos Recientes Exposición Solidaria "Refugiarte". En el Centro del Carmen Valencia, del 11 de mayo al 10 de junio del 2017. Exposición Colectiva, en la Galería "Espacio40" de Valencia, 2016. Exposición Colectiva, en la Galería "Rosalía Sender" de Valencia, del 17 de diciembre de 2015 hasta el 30 enero de 2016. Exposición "Los 30 años más recientes" en la Galería "Espacio40" de Valencia, del 15 de julio hasta finales de octubre de 2015. Cata maridaje inspirada en el lenguaje plástico de Cristina Navarro por el Chef Rodrigo Bernasconi. 24 de Julio de 2015 a las 21 horas en la Galería "Espacio40" de Valencia. En su página web, www.cristinanavarro.com podéis encontrar más datos relevantes de su biografía, las distintas etapas de su trayectoria artística, reseñas, catálogos, etc. Y muchos más ejemplos de su obra.     Catálogo de Obras:

Martes, 26 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

649. Cristina Navarro (1)

El primer contacto, hace ya algunos años, con el arte de Cristina Navarro me dejó sin habla: ¡AQUELLO ERA UNA DANZA MATEMÁTICA EN COLORES! No sólo por la forma de los pequeños símbolos esquemáticos con los que trabajaba, sino porque aquellas flechas, triángulos, espirales, etc. estaban dispuestos formando secuencias que invitaban a ser continuadas. Además, al darle Cristina el mismo tratamiento a las grafías de lenguas antiguas, en aquellas tiras paralelas, te encontrabas, casi sin darte cuenta, ¡conectando la geometría con la escritura!, ¡con las palabras!. Era la primera vez que veía incorporar las matemáticas al arte como un elemento estético evidente, más allá de esas líneas invisibles y misteriosas que subyacen en la composición de un cuadro. Pero también en ellas. Y en el tamaño y proporción de las obras. Aunque en su biografía no se haga referencia a ninguna formación específicamente matemática, esa conexión ha sido una constante en las diversas etapas que han ido conformando la trayectoria artística de Cristina Navarro a lo largo de estos años. Actualmente, juega con módulos sencillos, probables representaciones metafóricas de elementos primitivos de su universo personal. Los esquematiza, dándoles un tratamiento geométrico, y construye con ellos: tótems, esculturas, pequeñas y estilizadas joyas de plata y, sobre todo, cuadros. Ves en ellos círculos, cuadrados, nubes de fractales de oro o plata… Te hacen pensar, incluso, cómo a partir de unos pocos axiomas y conceptos primitivos se crean verdaderos edificios matemáticos. Aunque, por supuesto, también puedes mirar los colores, las formas, la disposición de las piezas y jugar a adivinar. O recordar con añoranza las arquitecturas infantiles de madera. O, simplemente, disfrutar. Y, siempre, sonreír. Amelia Ruiz CRISTINA NAVARRO BIOGRAFÍA: En su página web, www.cristinanavarro.com podéis encontrar los datos más relevantes de su biografía, las distintas etapas de su trayectoria artística, reseñas, catálogos, etc. Y muchos más ejemplos de su obra.     Catálogo de Obras:

Jueves, 01 de Marzo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

650. Matemáticos que cambiaron el mundo

Categoría: Historia de las matemáticas Autor: Douglas Jiménez Editorial: Los Libros de El Nacional - CEC Año de publicación:  2006 Nº de hojas: 170 ISBN: 980-388-309-7

Viernes, 04 de Mayo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más