671. 2. (Enero 2005) Original libro sobre geometría clásica: Estética de la razón matemática

LEYENDO A EUCLIDES de Beppo Levi (Libros del zorzal, 2000) 223 páginas A fines de los años 30, perseguido por Mussolini, llegó a la Universidad del Litoral un hombre diminuto, de aspecto frágil y frente ancha. Era Beppo Levi, uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. Se lo había contratado como investigador en uno de los primeros institutos especializados que tuvo el país, pero por una de las clásicas paradojas argentinas, pronto sobrevino una intervención arrasadora y Levi acabó dando clases rutinarias para alumnos de primer año. Fue también en Rosario donde se publicó por primera vez Leyendo a Euclides. Casi 50 años después, un grupo de discípulos reedita esta incursión casi detectivesca en el pensamiento socrático. Para entender la importancia de este libro suyo hay que tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son aún en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática, sino que cristalizaron también una estética casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta hoy: la estética del balance delicado entre simplicidad y alcance, entre un mínimo de presupuestos y un máximo de consecuencias derivables. En efecto, la atracción y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo y que Kant creyó la única posible: la que se corresponde con la forma en que vemos al mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios. La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, cuyo subtítulo es "Demostrada según el orden geométrico", y también en la búsqueda de Descartes de una verdad a partir de la cual construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto. De los cinco axiomas éste era, aun para Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. En 1826, un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió que era posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas, pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría era tan legítima y sólida como la euclideana, en tanto que si llevaba a alguna contradicción lógica, la "culpa" de esta contradicción no podría atribuirse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica. Gauss, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones, observó que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco del todo euclideana, de Helmholtz. El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática. Algunas paradojas lógicas señaladas por Rusell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. Hilbert sostenía que debía dotarse a la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los postulados de Euclides, de modo que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero pudiera corroborarse y reobtenerse a partir de estos axiomas en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la de demostrable. Pero ya en la vida real estamos acostumbrados a que estas dos nociones no siempre son equivalentes. Basta pensar en cualquier crimen con dos sospechosos. Cualquiera de los dos involucrados sabe la verdad sobre su culpabilidad o inocencia. Pero la Justicia debe reunir evidencias para decidir sobre esta cuestión y demasiadas veces los indicios no son suficientes para alcanzar la verdad. En 1930 Kurt Gödel mostró -en lo que fue un golpe de efecto inesperado- que lo mismo ocurre en la matemática. Su célebre teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aun en el fragmento elemental de la aritmética -los números naturales, con la suma y la multiplicación- es imposible dar una cantidad finita de postulados que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. La aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático. El teorema de Gödel, convertido demasiado ligeramente en fetiche de la postmodernidad, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos y, en general, sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática, dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos que la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia humana es irremplazable: no puede modelarse una computadora que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano insustituible es la facultad de interpretar y asignar sentido. A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance tan asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética y otros fragmentos de la matemática no pueden axiomatizarse sin perder en el camino parte de su alcance. En una investigación anterior, el matemático francés Henri Poicaré había vuelto sobre los axiomas de Euclides para evidenciar los presupuestos ocultos detrás de los cinco axiomas: por ejemplo, la admisión tácita de que las figuras son indeformables por rotaciones y traslaciones. En un mundo de fluidos no tendría sentido la geometría euclideana. Este modo de atender a lo no dicho, y poner en evidencia lo que cada época convierte en verdad inconsciente, anticipaba en la matemática lo que fueron luego las técnicas arqueológicas de Foucault en las ciencias sociales. Leyendo a Euclides se inscribe más bien en esta segunda línea, y puede considerarse una revisión bajo la lupa poderosa de los siglos para entender el corpus de conocimientos y el modo de razonar geométrico de la época de Euclides. En el prólogo, Levi dice que su esfuerzo al escribir este libro estaría completamente perdido sin no pudiera cautivar la atención de lectores no matemáticos. Estos lectores tendrán hoy la oportunidad única de reaprender la geometría de la mano de un matemático verdaderamente célebre (hay un teorema ya clásico del análisis que lleva su nombre). ¿Qué hay -podría preguntarse uno al terminar- detrás de esta estética que atravesó los siglos, de este afán de apresar con unas pocas propiedades, todas las consecuencias de un sistema? Los axiomas, quizá, expresan la finitud humana. Desde siempre el hombre se ha debatido con su finitud y en la matemática logró a veces con astucia derrotarla: nadie puede contar todos los números, pero sabemos escribir cualquiera de ellos y podemos hacerlo con sólo diez símbolos. Nadie puede escribir los infinitos teoremas de la geometría, pero Euclides enseñó que con suficiente paciencia podríamos derivar cada uno a partir de sólo cinco axiomas. Otras veces, sin embargo, ninguna astucia es suficiente. El ser humano es una criatura limitada, pero echa a andar hijos cuyos pasos no puede seguir, dioses que lo suceden eternamente y objetos cuya complejidad se le escapa. (Publicado en Clarín) TEXTO ORIGINAL A fines de los años 30, perseguido por Mussolini, llegó a la Universidad del Litoral un hombre diminuto, de aspecto frágil y frente ancha. Era Beppo Levi, uno de los matemáticos más importantes de este siglo. Se lo había contratado como investigador en uno de los primeros institutos especializados que tuvo el país pero por una de las clásicas paradojas argentinas, pronto sobrevino una intervención arrasadora, y Levi acabó dando clases rutinarias de análisis para los alumnos de primer año. Fue también en Rosario donde se publicó por primera vez Leyendo a Euclides. Casi cincuenta años después, un grupo de discípulos acaba de reeditar esta incursión casi detectivesca en el pensamiento socrático. Para entender la importancia de este libro se debe tener en cuenta que los axiomas de Euclides para la geometría no sólo fueron y son todavía en gran medida el paradigma del modo de operar de la razón matemática sino que cristalizaron también una estética profunda y casi imperativa para esa razón, con implicaciones múltiples en la filosofía que llegan hasta la época contemporánea. Esa estética es la del balance delicado entre simplicidad y alcance, entre la mínima cantidad de presupuestos y la máxima cantidad de consecuencias derivables. En efecto, la atracción y seducción del modelo euclideano reside en que a partir de nociones muy elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco axiomas que vinculan de manera casi obvia estas nociones entre sí, puede desarrollarse de teorema en teorema toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo atrás y que Kant creyó la única posible: la geometría que se corresponde con la forma en que vemos el mundo y sirve a cartógrafos, arquitectos y agrimensores para todos los usos diarios. La larga influencia del procedimiento axiomático en la filosofía puede rastrearse en la Etica de Spinoza, que lleva como subtítulo "Demostrada según el orden geométrico" y también en la búsqueda de Descartes de una verdad "a salvo de toda duda razonable" que pudiera servir como primer principio y punto de apoyo para construir, por pasos puramente lógicos, un sistema de pensamiento inexpungable. Pero quizá la historia más conocida en torno a la geometría euclideana es la que tiene que ver con el quinto postulado: Dada una recta y un punto fuera de ella, hay una única recta paralela a la dada que pasa por ese punto. De los cinco axiomas este último era, incluso para el propio Euclides, el menos obvio, y en las demostraciones trata de utilizarlo sólo cuando es estrictamente necesario. Durante dos mil años se pensó que tal vez sería posible probar este quinto axioma a partir de los cuatro anteriores, como un teorema más, y encontrar esa demostración elusiva se convirtió en el principal problema abierto de los geómetras. Finalmente un joven estudiante ruso, Nikolay Lobachevsky, descubrió en 1826 que era enteramente posible desarrollar una nueva geometría en la que fueran válidos los cuatro primeros axiomas pero no el quinto. Posteriormente Bolyai probó algo todavía más curioso: que la nueva geometría, por extraña que pudiera parecer a la intuición, era tan legítima y sólida como la euclideana, en el sentido de que si llevaba a alguna contradicción lógica, la "culpa" de esta contradicción no podría atribuírse a la negación del quinto postulado, sino a los cuatro anteriores, compartidos con la geometría clásica. Gauss, que había llegado por su cuenta a las mismas conclusiones, fue uno de los primeros en observar que la existencia de una geometría no euclideana ponía en crisis la idea kantiana de una noción a priori del espacio. Este fue uno de los golpes más duros a la filosofía de Kant, al que se sumaron luego los experimentos sobre la geometría de la percepción visual, tampoco enteramente euclideana, debidos a Helmholtz. El programa de Hilbert y la incompletitud El espíritu de Euclides revivió con particular fuerza a principios de 1900 en el programa de Hilbert para fundamentar la matemática. Algunas paradojas lógicas señaladas por Russell en la teoría de conjuntos habían hecho crujir por primera vez el edificio orgulloso de la matemática y mostraban la necesidad de buscar principios y métodos de corroboración que permitieran la revisión cuidadosa de cada resultado. La idea detrás del programa de Hilbert era que debía dotarse a toda la matemática de un conjunto de axiomas bien determinados, como los cinco postulados de Euclides, de manera que todo resultado que los matemáticos proclamasen como verdadero -utilizando cualquier método- pudiera corrobarse y reobtenerse a partir de estos axiomas por medio de un procedimiento puramente mecánico, en una sucesión finita de pasos. En una palabra, Hilbert procuraba identificar la noción de verdadero con la noción de demostrable. Pero ya en la vida real estamos acostumbrados a que estas dos nociones no son necesariamente equivalentes. Basta pensar en cualquier crimen con dos únicos sospechosos. Cualquiera de los dos involucrados sabe la verdad sobre su culpabilidad o inocencia: yo fui o yo no fui. Sin embargo la justicia debe reunir por otros caminos evidencias -huellas, colillas, verificación de horarios- para decidir sobre esta cuestión y demasiadas veces los indicios no son suficientes para alcanzar esa verdad. Más aún, puede ocurrir incluso que ni la culpabilidad de uno ni la inocencia del otro sean demostrables. En 1930 Kurt Gödel mostró -en lo que fue un golpe de efecto dramático e inesperado- que exactamente lo mismo ocurre en la matemática. Su célebre teorema de incompletitud dio por tierra con el programa de Hilbert al revelar que aún en el fragmento elemental de la aritmética -los números naturales, con la suma y la multiplicación- es imposible dar una cantidad finita de postulados, a la manera de Euclides, que permitan reobtener como teoremas todos los enunciados verdaderos. Es decir, la aritmética, a diferencia de la geometría clásica, es irreductible a un tratamiento axiomático. El teorema de Gödel, convertido demasiado ligeramente en fetiche de la postmodernidad y de los psicólogos lacanianos, debe verse como un resultado sobre la limitación de los métodos formales axiomáticos, y en general, como un resultado sobre la limitación del lenguaje. Desde el punto de vista de la matemática dice que hay más complejidad en el mundo de los objetos matemáticos de la que pueden dar cuenta los métodos finitistas de demostración. Dice también que la inteligencia y el discernimiento humano es irremplazable: no puede modelarse una computadora que arroje todos los enunciados verdaderos sobre los números naturales. El factor humano insustituible es la facultad de interpretar y asignar sentido. A la vez, el resultado de Gödel pone por primera vez en crisis la estética simplicidad-alcance profundamente asimilada a partir de Euclides en el pensamiento matemático: la aritmética, y muchos otros fragmentos de la matemática, no pueden axiomatizarse sin perder en el camino una parte de su alcance. El libro de Beppo Levi En una investigación anterior y quizá menos conocida, el matemático francés Henri Poincaré había vuelto sobre los axiomas de Euclides para poner en evidencia los presupuestos ocultos detrás de los cinco axiomas: por ejemplo, la admisión tácita de que las figuras son indeformables por rotaciones y traslaciones. En un mundo de fluidos no tendría sentido la geometría euclideana. Este modo de prestar atención a lo no dicho, y de poner en evidencia lo que cada época convierte en verdad inconciente, anticipaba en el campo de la matemática lo que fueron luego las técnicas arqueológicas de Foucault en las ciencias sociales. Leyendo a Euclides se inscribe más bien en esta segunda línea, y puede considerarse una revisión bajo la lupa poderosa de los siglos para entender el corpus de conocimientos y el modo de razonar geométrico de la época de Euclides. En el prólogo Levi dice que su esfuerzo al escribir este libro estaría completamente perdido si no pudiera cautivar la atención de lectores no matemáticos. Estos lectores tendrán la oportunidad única de reaprender la geometría de la mano de un matemático verdaderamente célebre (hay un teorema ya clásico del análisis que lleva su nombre) y al mismo tiempo -como dice Mario Bunge en las palabras finales- de tener con los muertos una conversación inteligente, sin recurrir a trucos espiritistas. ¿Qué hay en todo caso -podría preguntarse uno al terminar- detrás de esta estética que atravesó los siglos, detrás de este afán de apresar con unas pocas propiedades, todas las consecuencias de un sistema? Los axiomas, quizá, expresan la finitud humana. Desde siempre el hombre se ha debatido con su finitud y en la matemática ha logrado a veces con astucia derrotarla: nadie puede contar todos los números, pero sabemos escribir cualquiera de ellos y podemos hacerlo con sólo diez símbolos. Nadie puede escribir los infinitos teoremas de la geometría, pero Euclides enseñó que con suficiente paciencia podríamos derivar uno cualquiera a partir de sólo cinco axiomas. Otras veces, sin embargo, ninguna astucia es suficiente. El ser humano es una criatura limitada, pero echa a andar hijos cuyos pasos no puede seguir, dioses que lo suceden eternamente y objetos cuya complejidad se le escapa.

Sábado, 01 de Enero de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

672. 1. (Enero 2005) El amor correspondido y el experimento de la habitación china

En la novela Galatea 2:2 el escritor norteamericano Richard Powers vuelve al mito de Pigmalión en una versión computacional: el protagonista, bajo el desafío de una apuesta, se propone educar a una computadora en el gusto literario, para que pueda emitir un comentario crítico articulado ante cada libro que se le presente. Y de la misma manera que en la obra de Bernard Shaw la piedra de toque del éxito de la educación era conseguir que la florista de los suburbios fuera por una noche, durante una recepción, indistinguible de las damas de la alta sociedad, se pacta que la computadora deberá ser capaz de dar un examen de apreciación literaria que pueda confundirse con el de otro alumno universitario cualquiera. Detrás de una puerta cerrada estará la computadora, detrás de una segunda puerta un alumno brillante de carne y hueso. A la hora señalada las hojas de los dos exámenes se deslizarán hacia afuera. Si un examinador externo no logra discriminar por las respuestas a quién pertenece cada examen, el científico de Powers habrá ganado la apuesta. La recepción de Bernard Shaw y el examen de Powers son dos versiones de lo que se llama el Test de Turing. El test fue propuesto en 1950 por el matemático y fundador de la computación Alan Turing en un famoso artículo llamado “Computing Machinery and Intelligence” e intentaba convertirse en un método que permitiera decidir, razonablemente, si una máquina había llegado a “pensar”. De acuerdo con el test, la computadora, junto con un voluntario humano, quedan ocultos de la vista de algún interrogador, que tiene que decidir quién es quién en una sesión de preguntas dirigidas a ambos. Si el interrogador no es capaz de distinguir por las respuestas al ser humano, la computadora habrá pasado la prueba. El test de Turing está más presente en nuestras vidas de lo que suponemos: el paso al frente en la escuela para “dar lección”, el detector de mentiras, el interrogatorio que pone al descubierto al replicante en la película Blade Runner, o las pruebas psiquiátricas que deciden si un asesino es o no inimputable son, bien mirados, todas variantes del test. El libro Los anormales, de Michel Foucault, deja ver que un test de Turing psiquiátrico decide en cada época la “normalidad” y muchas veces la libertad o prisión de un ser humano. Pero también, todo el tiempo, hacemos nuestros pequeños tests de Turing al estudiar en los otros la serie de palabras, gestos, miradas -el conjunto de exteriorizaciones- por el que decidimos si nos mienten, o nos quieren, o si todavía nos quieren. Vale la pena entonces revisar algunas de las objeciones que se le han hecho al test. La primera se debe a John Searle y se conoce con el nombre del “Experimento de la Habitación China”. En una habitación cerrada un hombre recibe debajo de la puerta una lista de preguntas en caracteres chinos. El hombre no sabe una palabra del idioma chino pero tiene un manual de instrucciones, digamos, chino-castellano, castellano-chino, que le dice cómo proceder para responder las preguntas. El hombre sigue las intrucciones mecánicamente y pasa sus respuestas transcriptas en esos caracteres que desconoce debajo de la puerta. Un observador externo podría jurar que el hombre sabe chino, pero por supuesto no hay ninguna genuina comprensión del idioma. La analogía es clara: la computadora es como el hombre de la habitación china: puede simular entendimiento para un observador externo pero no tiene “comprensión” de lo que está haciendo. ¿Puede haber acaso inteligencia sin comprensión? Una segunda objeción al test tiene que ver con la cuestión del tiempo. La sucesión de preguntas dirigidas a la computadora tiene como propósito principal descubrir una impostura, la distancia que hay entre “simular inteligencia” y “ser inteligente”, pero una cantidad finita de preguntas sólo permite decir que la impostura, hasta ese momento, no ha sido descubierta. Si el interrogatorio de Blade Runner hubiera terminado con una pregunta menos el replicante no se hubiera puesto al descubierto. Si la maestra no le hace al alumno la única pregunta que ignora, creerá que lo sabe todo. El test ideal debería ser entonces infinito, o perpetuo, pero ésto claramente lo vuelve impracticable para todos los propósitos humanos. La tercera objeción involucra lo que podría llamarse “la estética de los razonamientos”. Es bien sabido que la computadora Deep Blue llegó a derrotar en un match de ajedrez al campeón mundial de los seres humanos. Vistos “desde afuera” los dos juegan el mismo juego. Pero la computadora - que toma ventaja de su velocidad de cálculo- procede en sus análisis de la manera más burda, con pura fuerza bruta: examina en cada jugada todos los casos, persigue todas las alternativas posibles. El ajedrecista, en cambio, sólo deja filtrar unas pocas variantes “interesantes” o potencialmente promisorias. Su árbol de búsqueda tiene menos ramas, pero más profundas. En esta economía de recursos, en sus pocas y certeras intuiciones, hay algo que nos parece grato, difícil, admirable. No juegan, en el fondo, al mismo juego. En cada uno de los casos que examinamos la dificultad está en saber qué hay verdaderamente detrás de una puerta cerrada. Pero también las personas somos habitaciones cerradas, o en el mejor de los casos, como en el título de Saer, sombras detrás de un vidrio esmerilado. Quizá la atracción y la perduración de las novelas tenga que ver con la ilusión que nos dan de que podemos conocer “por dentro” a los personajes. En un largo ensayo titulado “Conciencia y la novela”, David Lodge demuestra que gran parte de la literatura moderna y contemporánea a partir de Jane Austen y Henry James,  se desarrolló en base a una confianza o un escepticismo filosófico sobre la posibilidad de penetrar la conciencia y saber realmente qué piensan y qué sienten los otros. Quise decir algo de esto en la última de mis novelas. En uno de los capítulos el protagonista recibe debajo de la puerta una carta de amor. Acaba de estudiar el Experimento de la Habitación China y se da cuenta, con alguna desesperación, de que ha perdido confianza en el puente de las palabras. ¿Cómo saber si hay verdadera correspondencia entre los sentimientos? ¿Cómo saber si el amor de la otra persona es tan intenso como el de uno? Mucho antes de Searle y de Turing, un poeta árabe, Qais bin-al-Mulawah, sintió la misma clase de incertidumbre y sólo le quedó un ruego desesperado a un Tercero que pudiera mirar por adentro a los dos: Oh Dios, haz que el amor entre ella y yo sea parejo que ninguno rebase al otro Haz que nuestros amores sean idénticos, como ambos lados de una ecuación. Sí: somos habitaciones cerradas que intercambiamos hojas bajo la puerta en idiomas extranjeros, precarios, tentativos, con la esperanza -como otro ruego- de que no todo se pierda en la traducción.

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673. Los crímenes de Alicia

Categoría: Literatura matemática Autor: Guillermo Martínez Editorial: Ediciones Destino. Colección Áncora & Delfin Año de publicación:  2019 Nº de hojas: 336 ISBN: 978-84-233-5510-5

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674. Caminando… con la banda de Möbius

En 1963, la pintora y escultora Lygia Clark (1920-1988) realizó una performance en la que partía de una banda de Möbius. Caminhando, 1963 En alguna otra de sus obras, también utilizó esta superficie como parte esencial. Caminhando, 1963 En las referencias [1] y [2] se explica el sentido, y la manera de llevar a cabo esta acción. El siguiente texto está extraído de [1]: Haz tú mismo el Caminhando con la faja blanca de papel que envuelve el libro, córtala a lo ancho, tuércela y pégala de manera que obtengas una cinta de Moebius. Coge unas tijeras y desde un extremo corta sin parar a lo largo. Ten especial cuidado en no pasar a la parte ya cortada –esto separaría la cinta en dos pedazos–. Cuando hayas dado la vuelta a la cinta de Moebius, decide entre cortar a la derecha o la izquierda del corte ya realizado. La noción de la elección es decisiva y de ahí radica el único sentido de esta experiencia. La obra es tu acto. A medida que se corta la cinta, se afina y desdobla en entrelazados. Al final, el camino es tan estrecho que no se puede abrir más. Es el fin del atajo. […] El acto es lo que produce el Caminhando. No existe nada antes y nada después. En O dentro e o fora (1963) y Diálogo de Mãos (1966), la banda de Möbius también es protagonista: O dentro e o fora (1963) En Diálogo de Mãos (1966) En Diálogo de Mãos (1966) Más información: [1] Marta Muñoz Recarte, Imagen, acción y corporalidad en el trabajo de Lygia Clark, Continuum, 2004 [2] Lygia Clark, Caminhando, 1964 [3] O mundo de Lygia Clark [4] Noemi Martínez Diez, Lygia Clark, Arte, Individuo y Sociedad 12,  321-328, 2000 [5] Leo Nabuco, Nós somos os propositores, Nucleo Dirceu [6] Cibele Prado Barbieri, Da vida à arte e de volta à vida: o sujeito em Lygia Clark, Cogito v.9 n.9, 2008 Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

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675. El comportamiento secreto de los números primos en espiral

ABC, 11 de Febrero de 2019 CIENCIA - El ABCdario de las matemáticas Pedro Alegría

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676. Discalculia o por qué tantos niños son malos en matemáticas

El Confidencial, 31 de Enero de 2019 ALMA, CORAZÓN Y VIDA Adrián López

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677. 138. ¿Órbitas Trigonométricas?

Hace unas semanas, un fiel seguidor de la sección, compañero de estudios y de trabajo, me planteó una cuestión que paso este mes a comentar. Dedicamos la reseña 117, en febrero de 2017, a comentar la estupenda Figuras Ocultas (Hidden Figures, Theodore Melfi, EE. UU. 2016) en cuyo argumento se describe el papel relevante que desempeñaron muchas mujeres de color en la carrera espacial norteamericana, a la vez que se reivindica la necesidad de dar a conocer su trabajo (el 11 de febrero está cerca, buen momento para volver a verla). En aquellos años se mantenían en un segundo plano, no sólo porque su trabajo se consideraba “secundario” (meras calculadoras, tarea rutinaria y “no digna” de los “eminentes” ingenieros), sino porque aquella sociedad tenía conceptos sociales, éticos y raciales bastante descentrados (me resisto a hacer la insinuación, pero la realidad mediática nos abruma: ¿y ahora? ¿sólo en yanquilandia?). En dicho artículo nos centrábamos en los aspectos matemáticos preferentemente, como la resolución de una ecuación cuartica mediante factorización, el método de Euler de aproximación a la solución de una ecuación diferencial de primer orden a partir de un valor inicial (buscando la transición de una elipse a una parábola en la reincorporación de una nave en órbita a la Tierra), algunos comentarios sin demasiado sentido sobre el triedro de Frenet y el método de ortonormalización de Gram-Schmidt, y relacionados, aunque de otras disciplinas, apuntes de puesta en marcha de los primeros computadores y cuestiones físicas como la constante de Planck-Einstein y la ecuación de Schrödinger. Son las referencias directas que cualquiera puede localizar. Sin embargo, la puesta en marcha de una película requiere de otras muchas cosas, entre ellas un atrezo coherente. En numerosas ocasiones hemos comentado el contenido de pizarras, cuadernos, objetos, etc., que se muestran en las películas, que enriquecen, o desacreditan el conjunto. Mi compañero Miguel me indicó que había algunas representaciones gráficas que aparecían varias veces en la película que le habían llamado la atención, como las que vemos en el fondo de la imagen adjunta de uno de los protagonistas. Se trata de un mapa de la Tierra en el que aparecen unas líneas, y unos círculos. Quizá una imagen más completa nos haga percatarnos mejor de la forma que presentan esas líneas. En esta segunda imagen, en el centro de seguimiento de la nave ocupada por John Glenn, observamos al completo las posibles trayectorias que puede seguir dicha nave y los círculos los posibles lugares en los que aterrizará. La cuestión es, ¿son sinusoidales? ¿Por qué, si teóricamente está girando alrededor de la Tierra? Los satélites artificiales que mandamos, ¿también describen trayectorias de ese tipo? Si buscamos en la red información sobre, por ejemplo, la Estación Espacial Internacional (ISS, en inglés, por si lo buscan), nos toparemos con imágenes de este tipo: Así pues, nuestras sospechas se confirman: aparecen representadas mediante una trayectoria aparentemente semejante a una trigonométrica. Todos los aficionados a la Astronomía conocen la Estación Espacial Internacional, un satélite artificial habitable que actúa como una estación espacial tripulada, en órbita terrestre baja y que aloja a una media docena de astronautas que realizan diferentes trabajos y misiones de investigación científica y tecnológica a bordo. Como cualquier otro satélite artificial, la EEI circunda la Tierra en una ruta predefinida, llamada órbita. La órbita de la EEI se encuentra a una altitud donde todavía experimenta una fuerte atracción gravitatoria de la Tierra. Contrariamente a la creencia popular, no presenta “gravedad cero”. De hecho, en la EEI se experimenta hasta el 90% de la gravedad que tenemos aquí en la Tierra. Está cayendo perpetuamente hacia la Tierra, pero gracias a su enorme velocidad orbital (17,200 mph / 27,6000 kmph) y el gran tamaño de nuestro planeta, nunca llega a la superficie. Una curiosidad notable de la órbita de la EEI es que no coincide con el ecuador de la Tierra. Cuando hablamos de un satélite que gira alrededor de la Tierra, generalmente tendemos a visualizar su órbita coincidiendo con el ecuador, pero en realidad, la órbita de la EEI se parece más a lo que muestra la imagen adjunta. En cualquier caso, sigue un desplazamiento prácticamente circular alrededor de la Tierra. La razón por la que finalmente esa trayectoria “parece” una onda en vez de una circunferencia tiene que ver con el mapa utilizado. Como es conocido, no es posible configurar un mapa “exacto” de la Tierra, ni de ningún planeta (ya les gustaría a los terraplanistas; por cierto, la bobada no es nueva, y si no echen un ojo a lo que lleva pintado en la frente el paciente elefante de la célebre comedia El Guateque (The party, Blake Edwards, EE. UU., 1968); claro que, en su descargo, en estos años, estos colegas iban colocados hasta las cejas), debido a la imposibilidad de trasladar un objeto tridimensional al plano. Existen varios modelos diferentes, de acuerdo con el criterio que mejor satisfaga nuestras necesidades: unos conservan la forma de los continentes pero no las distancias, y otros al contrario. El mapa que más se ha utilizado durante mucho tiempo pertenece a esta última categoria, y es conocido como mapa de Mercator. La proyección cartográfica que utiliza prioriza el trazado de rutas en línea recta dado que las cartas naúticas era un tema de máxima necesidad en el siglo XVI. La forma exacta de los países era algo bastante más secundario. Se trata de una proyección cilíndrica, por lo que cuanto más nos alejamos del Ecuador a los Polos, más distorsión existe frente a la realidad. Además de no mostrar de forma correcta el tamaño relativo de los países, la proyección de Mercator también distorsiona el camino de la EEI en el mapa mundial y de cualquier objeto en órbita o tratando de entrar en la atmósfera terrestre (que es el caso de John Glenn en la película Figuras Ocultas). En la propia película aparecen también imágenes de informativos de la época, como la mostrada a continuación, en la que como vemos, también se muestra un mapa con las trayectorias marcadas del mismo modo. Pero no siempre las producciones cinematográficas tienen el mismo rigor a la hora de plasmar este tipo de elementos de ambientación de la película. Hay muchas películas relacionadas con la Astronomia y los viajes espaciales. ¿Conoce el lector algún flagrante caso de “metedura de pata” con este tipo de cosas? Esperamos sus aportaciones. Alfonso Jesús Población Sáez

Miércoles, 06 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

678. ¿De dónde salen los números de la tabla periódica?

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680. Programa de liderazgo para estudiantes de grado y máster en CTIM MatEsElla

La iniciativa MatEsElla es una propuesta conjunta entre la RSME y la EJE&CON (Asociación Española de Ejecutiv@s y Consejer@s) para impulsar la carrera científica o empresarial entre mujeres estudiantes del grado o el máster en disciplinas CTIM (ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas). Asimismo, busca potenciar la carrera de las investigadoras que participen como mentoras.

Martes, 05 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más