681. Mujeres matemáticas. Trece matemáticas, trece espejos

Categoría: Divulgación matemática Autores: Marta Macho Stadler (coordinadora) y varias autoras y autores Editorial: RSME y Ediciones SM. Colección Biblioteca estímulos matemáticos Año de publicación:  2019 Nº de hojas: 212 ISBN: 978-84-918-2055-0

Martes, 05 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico | Leer más

682. 168. (Febrero 2019) Una predicción ESPecial

Como adelantábamos el mes pasado cuando presentamos las cartas ESP con los símbolos inventados por Karl Zener, no se hizo esperar la aparición de juegos de magia con estos símbolos como protagonistas. Esto puede interpretarse como una forma de crítica hacia los experimentos parapsicológicos al poner de manifiesto que no es necesario tener dotes especiales para conseguir resultados que escapan a los procesos mentales usuales. Algo parecido ocurrió con el «boom» de Uri Geller en la primera mitad de la década de 1970-80, pues poco tiempo después de sus apariciones televisivas encontramos que muchos magos realizaban los mismos milagros sin apelar a la superioridad de sus mentes. Ya lo apuntó muy oportunamente Stewart Judah en 1963: "Para el profano, el simple uso de las cartas ESP provoca un toque adicional de misterio. La mayoría de la gente ha oido hablar estos días del famoso doctor Rhine y de sus experimentos de percepción extrasensorial con estas cartas, lo que representa una ventaja para el mago que presenta efectos mentales en su actuación. ¡Hasta el truco más antiguo puede adornarse usando cartas ESP de modo que el principio sea irreconocible! Pero, recuerda, si este es el caso, el efecto debe presentarse como fenómeno científico: un simple juego de cartas no tiene relevancia en el mundo del mentalismo." En enero de 1938, Royal V. Heath (sí, el mismo que inventó el nombre «Matemagia» al utilizarlo como título de su libro) publicó el juego "ESP miracle" en la revista The Sphinx y en febrero del mismo año, el genial Theodore Annemann puso el enigmático título "Yggdrasil" al juego que publicó en su revista The Jinx. En el número de abril de 1941 de esta misma revista, James G. Thompson jr. (no confundir con Johnny Thompson, el gran Tomsoni) escribió el artículo "Moonlight madness" donde sugería asociar el código numérico 1-2-3-4-5 a cada símbolo según el número de líneas con el que se dibuja. A lo largo del tiempo se ha extendido el uso de estos símbolos, gracias a la creación de nuevos y originales juegos y a que muchos mentalistas los utilizan en sus espectáculos. Solo mencionaré a Nick Trost y Howard Adams, de cuyos juegos con cartas ESP se ha publicado una colección de 6 DVDs, y a Doug Dyment, en cuyo libro Stimulacra (2007) he encontrado las imágenes de las primeras versiones de estas cartas, la original de Zener y la primera versión utilizada en las barajas ESP: Diseño original de Zener Primera baraja ESP Terminaremos describiendo un nuevo juego con base matemática utilizando estos símbolos. Si el mes pasado utilizamos solamente cinco cartas, en esta ocasión necesitaremos diez, cinco rojas y cinco negras, como las de la imagen adjunta (también puedes utilizar cinco cartas rojas y cinco negras homónimas de una baraja normal, pero no se produce el mismo efecto mental): Mezcla bien estas diez cartas. Es casi seguro, ¿con qué probabilidad?, que hayan quedado juntos dos símbolos iguales. Si no ha ocurrido, vuelve a mezclar. Esta vez, seguro que hay dos cartas juntas con el mismo símbolo. Recuerda cuál es este símbolo pues se trata de mi predicción. Corta el paquete de modo que dichos símbolos queden en la parte superior. En la siguiente figura se muestra un ejemplo donde las dos ondas están en la parte superior. Recoge el paquete, gira cara abajo las cartas y pasa la carta superior debajo de las demás. Reparte ahora todas las cartas sobre la mesa, alternativamente a la izquierda y a la derecha, formando dos montones. Elimina ahora el montón que desees, el de la izquierda o el de la derecha, pero esta elección influirá en las sucesivas: si eliminas el paquete de la derecha, en sucesivos pasos eliminarás también el paquete de la derecha. Repite la operación con las cartas restantes, es decir, forma dos montones sobre la mesa repartiendo las cartas alternativamente a la izquierda y a la derecha. Vuelve a eliminar uno de los montones (el del mismo lado que antes) y vuelve a repartir cartas con el montón restante y eliminar hasta que quede sólo una carta. Comprueba que, efectivamente, el símbolo de la carta restante coincide con la predicción. Comentarios finales. Hay algunas páginas web en las que puedes probar tus habilidades telepáticas online. Por ejemplo, este test con cartas ESP de la página Psychic Science tiene varias opciones (yo he alcanzado el 28 por ciento de aciertos). El propio Rhine Research Center, dedicado a la investigación de fenómenos paranormales, vende artículos relacionados con las cartas ESP. Puedes conseguir, por ejemplo, una baraja con su manual de instrucciones. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 04 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

683. El oro de Newton

Autores: Joaquín Collantes Hernáez y Antonio Pérez Sanz Texto: -La verdad es que no sé por dónde empezar -dijo el señor Greenway desviando la mirada hacia el whisky con soda –más whisky que soda- que tenía delante. -Pues por el principio, como siempre me dices. Nuevas sonrisas y trago de whisky. Y el que no sabía por dónde empezar carraspeó para aclararse la voz, mirando ahora directamente a los ojos azules del muchacho que se sentaba enfrente, como si la pequeña dosis de alcohol le hubiera aportado el valor necesario para decirle: -Comprendo tu sorpresa. He estado haciendo las gestiones necesarias sin decirte nada, y te he matriculado en la universidad de Berlín. Comienzas los estudios superiores de matemáticas en septiembre. Mi deseo es que hubieras estudiado en la universidad de Göttingen ya que allí impartieron docencia los mejores matemáticos de Europa: Riemann, Klein, Hilbert, Courant, Landau, Noether, Weyl…, en fin, grandes matemáticos, algunos de ellos expulsados recientemente de la universidad con el único argumento de ser judíos. A mí me hubiera gustado que asistieras a las clases de esa matemática genial que fue Emmy Noether, pero falleció el año pasado en su exilio americano. Hubiera sido feliz sabiendo que estudiabas matemáticas en esa universidad de la mano de los mejores matemáticos alemanes. Pero a los mejores los ha devorado la diáspora. Está claro que los tiempos están cambiando, aunque tengo mis dudas de que sea precisamente a mejor. Ahora pienso que quizá no sea buen momento para poner en práctica el plan que he estado meditando tantos años. Pero, en fin, o tú naciste con unos cuantos años de retraso o Adolf Hitler llegó a la cancillería de Alemania demasiado pronto. Pero a pesar de todo cumpliré la promesa que me hice a mí mismo cuando te adopté: eres alemán y a tu país volverás. Y una vez allí, asumida tu verdadera nacionalidad, estarás en condiciones de elegir tu futuro: quedarte en tus raíces… o volver a mi lado para seguir siendo inglés como lo has sido hasta ahora. Fuente: Publicado por la editorial Liber Factory, en 2014.

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684. 51. (Febrero 2019) El analema de Vitruvio en Montilla

(Figura 1. Reloj solar de Cerro Cocorrón. Museo Histórico de Montilla) El Museo Histórico de Montilla conserva el único cuadrante solar romano horizontal encontrado en la Península Ibérica De la treintena de relojes solares hallados en la Hispania Romana [1], solo el localizado en Montilla es horizontal plano con gnomon vertical, el resto son de tipo escafe (σκάφη) o hemispherium, el diseño que Vituvio atribuye a Berosio el Caldeo y a Aristarco de Samos. Los únicos relojes horizontales planos de la antigüedad hasta el hallazgo de Cerro Cocorrón eran los andalusíes: ocho encontrados hasta ahora. El más bello ejemplo de reloj solar hemisférico es el encontrado en Baelo Claudia (Cádiz) y que se expone en el Museo Arqueológico Nacional. Se trata de un reloj con gnomon de orificio para dejar pasar un fino haz de rayos solares. (Figura 2. Reloj solar de Baelo Claudia. MAN, Madrid) El analema de Vitruvio El gran tratadista Marco Vitruvio Polión (c. 80-70 – 15 a. C) expone detalladamente en su De Architectura (Libro IX, Capítulo VII) la forma de construir relojes solares horizontales usando la proyección ortográfica de la esfera celeste. El procedimiento ortográfico de la analemma fue después usado y ampliado por Herón de Alejandría (10 – 70 d. C.) y Claudio Ptolomeo (100 – 160 d. C.). El sistema fue la base de los cuadrantes árabes tanto orientales como occidentales. El método del analema es geométrico y permite trazar con facilidad las líneas horarias y las hipérbolas del zodiaco (o para cualquier fecha) en las zonas templadas. Los cuadrantes romanos y andalusíes suelen marcar solo las dos hipérbolas de los solsticios y la recta de los equinoccios. Las líneas horarias romanas y andalusíes son herederas de la tradición oriental y marcan las horas temporarias o planetarias, que son desiguales ya que dividen la insolación en doce tramos iguales desde el orto al ocaso. En invierno las horas son más cortas que en verano, alcanzando su mínimo en el solsticio de invierno y su máximo en el de verano. Hoy calculamos las duraciones de los días numéricamente usando trigonometría pero Vitruvio lo hacía más fácil con geometría. (Cálculo del ángulo d de la semi duración de los días) Las horas romanas y arábigas se empiezan a contar desde el amanecer de forma que el mediodía son las seis. Esta forma de cómputo es la que heredarán los conventos cristianos para sus rezos: la sexta marca el mediodía.  Los relojes romanos dibujan las líneas que van desde la I a las XI. Los árabes fueron conscientes de que las líneas horarias temporarias no eran rectas pero su trazado siguió recto para simplificar y por la misma razón se trazaban las hipérbolas con la ayuda de una circunferencia. (Figura 3. Analema de Vituvio. Edición alemana de Walther Hermann Ryff. 1575) Utilización del analema Vamos a utilizar el esquema de Ron Doerfler [3] para uso del analema por ser muy comprensible visualmente. El proceso para la construcción de la figura 4 es el siguiente: Trácese una circunferencia que será la meridiana del lugar. Dibújense los diámetros horizontal y vertical. El horizontal es el horizonte del lugar, el límite de lo que el observador ve. El diámetro vertical es la vertical del lugar, la recta que une el centro del planeta con el observador. Trácese otro diámetro que forme un ángulo igual a la latitud del lugar con la vertical. Ese diámetro es la proyección ortogonal del ecuador celeste. Dibújense dos cuerdas paralelas al ecuador a un ángulo de 23º 27` de éste, se trata de los trópicos de Cáncer y Capricornio celestes. Al poner en movimiento la maquinaria, todo gira sobre el eje del mundo, la recta diámetral perpendicular al ecuador, fh en la figura 4. (Figura 4. Esquema de Ron Doerfler [3] para uso del analema) La figura 4 nos va a mostrar en detalle el proceso de trazado de la hipérbola de Cáncer (solsticio de verano) y sus horas correspondientes: Trácese la semicircunferencia de la cuerda de Cáncer, que corresponde al giro de la Tierra pues se abate el paralelo de Cáncer sobre el plano meridiano. Divídase la semicircunferencia de Cáncer en doce partes iguales para marcar las horas actuales. Las otras doce horas del día son simétricas y no necesitan dibujarse. Proyéctense ortogonalmente sobre la cuerda los puntos de la semicircunferencia. Únase cada punto de la cuerda de Cáncer con el centro de la circunferencia (líneas azules), y prolónguense hasta cortar la línea horizontal tangente inferior a la circunferencia (línea verde). Dibújense rectas perpendiculares a la línea verde desde las intersecciones con líneas azules. [Los puntos de corte nos han dado las distancias de las distintas horas a la tangente de la hipérbola que pasa por el vértice (el mediodía) (línea rojiazul)] Trácense las líneas paralelas al horizonte desde las horas en la cuerda de Cáncer (líneas rojas paralelas). Únase cada punto horario de la circunferencia con el centro hasta cortar a la línea verde (líneas rojas que pasan por el centro). Los arcos desde el horizonte nos dan la altura del Sol en cada hora Tómese un punto cualquiera de la prolongación de la vertical del lugar como base del gnomon (punto verde). Dicho punto debe estar suficientemente alejado de la circunferencia meridiana para poder dibujar el reloj sin interferir, aunque bastaría con la mitad inferior (horas de mañana) pues las de tarde son simétricas) Trácense las circunferencias con centro base del gnomon para las distintas longitudes de sombra. [Los segmentos de las líneas verde nos dan la longitud de la sombra del gnomon para cada hora] El proceso se ha realizado de forma que el radio de la circunferencia meridiana sea la atura del gnomon. La figura 4 describe el proceso para horas iguales; para las horas temporarias romanas el procedimiento es el mismo pero las divisiones de la semicircunferencia del paralelo de Cáncer deben modificarse para dividir en seis partes el arco diurno: Se localiza el punto de intersección entre el horizonte y la cuerda de Cáncer (punto amarillo). Levántese la línea perpendicular a la cuerda hasta cortar a la semicircunferencia del paralelo de Cáncer (punto marrón, horas 4/8 en el dibujo) Divídase el arco superior de la semicircunferencia en seis partes pues es el arco diurno. Esto último no se puede hacer con regla y compás pues requiere la trisección del ángulo.  Se usarían métodos mecánicos o aproximaciones. La hipérbola y líneas horarias de Capricornio se hacen con su paralelo correspondiente y los dos equinoccios con el ecuador celeste. En la Figura 4 están marcadas pero no dibujados tanto las horas del solsticio de invierno como ambos equinoccios. Los relojes romanos y árabes pequeños solo suelen marcar los solsticios y los equinoccios. Si se desea dibujar todas las hipérbolas del zodiaco (o una para una declinación específica cualquiera) se recurre a una pequeña circunferencia tangente a los dos paralelos de los solsticios llamada menaeo (mes). La división del menaeo en doce partes nos ofrece las doce declinaciones solares del zodiaco. Los cálculos geométricos son sencillos y una vez realizados para una latitud pueden tabularse. Eso es lo que se hace en los Libros del Saber de astronomía mandados traducir  por Alfonso X el Sabio. El cuadrante de Montilla El fragmento de reloj solar encontrado en el yacimiento de Cerro Cocorrón nos da información suficiente para reproducirlo fielmente en su totalidad. Las líneas horarias de las III, IV, V y VI (mediodía) están completas. Se deduce por trigonometría que el gnomon tenía una altura de 48 mm y se localiza a 12 mm del solsticio de verano) pues la distancia medida entre solsticios es 75 mm. En la figura 6 se muestran las diferencias entre las horas temporarias desiguales (en rojo) y las usuales en la actualidad (amarillas). Nótese que las amarillas convergen pero las temporarias no. (Figura 5. Reloj solar de Cerro Cocorrón con las horas marcadas) (Figura 6. Reloj solar de Cerro Cocorrón con los dos tipos de horas) La figura 7 muestra una aproximación al tamaño real del cuadrante sobrepuesto con el fragmento recuperado. (Figura 7. Reloj solar de Cerro Cocorrón reconstruido aproximadamente) Polisemia del término analema El uso del término griego analemma se ha ido transformado con el paso del tiempo. Etimológicamente es la base del reloj solar. En Vitrivio es el de procedimiento expuesto para construir geométricamente relojes horizontales usando proyección ortográfica de la esfera celeste y abatimiento de planos. En el siglo XVII se desarrolla un tipo de reloj llamado analemático que no requiere gnomon pues la sombra del observador marca las horas sobre una elipse. La persona se tiene que desplazar a la estación marcada en el suelo. Estos relojes son conocidos también como cuadrantes de Vaulezard. El primer reloj de este tipo se realizó delante de la fachada del Monasterio de Brou. Son relojes muy adecuados para los patios de los colegios: son sencillos y dan protagonismo a las personas. En la actualidad el término analema ha quedado reservado para la curva en forma de lemniscata asimétrica (forma de 8) que nos indica el adelanto o el retraso del mediodía solar respecto al legal a causa de la inclinación del eje de rotación de la tierra y de su órbita elíptica. Agradecimiento A la Asociación de Arqueología Agrópolis de Montilla por sus facilidades y su desinteresado entusiasmo para el mantenimiento del Museo Histórico Local. Referencias [1] Pérez Rubio, J. A. (2014) Relojes de Sol Romanos en Hispania. Asociación Ilicitana de Astronomía. [2] Serrano Gil, V. (2009) Cuadrante solar romano. Reflexiones y apuntes en torno a una pieza del Museo Histórico Local de Montilla. Boletín de la Asociación Provincial de Museos Locales de Córdoba. [3] Doerfler, R (2007). The Analemmas of Vitruvius and Ptolemy

Viernes, 01 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

685. Las bandas de Möbius de Harry Pollitt

Harry Pollitt es escultor, trabaja sobre vidrio y madera. Up Draft y Down Force Up Draft y Down Force son dos de sus esculturas de madera basadas en la banda de Möbius. En su página explica el proceso de construcción de cada una de las esculturas –y lo que es una banda de Möbius–, además de mostrar imágenes de una calidad extraordinaria, por las que se pueden estudiar los retorcidos con todo detalle. ¡No dejéis de visitarla! Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

Viernes, 25 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

686. Enero 2019: Trucos mágicos con 9 cartas II

1. La magia continúa. En la anterior entrega, vimos una serie de trucos de cartas con fundamento matemático, que tenían la característica  de que se hacían con nueve cartas numeradas del 1 al 9. En esta entrega vamos a seguir con los trucos, pero ya no es obligatorio hacerlo con cartas numeradas, es posible hacerlo con cualquier carta. A veces, suelo utilizar unas cartas numeradas del 1 al 9 particularizadas para el grupo de alumnos con el que trabajo (por ejemplo con el nombre del centro educativo) y ya puestos continúo con los trucos siguientes aunque no se necesitan forzosamente los números. Voy a incluir también una serie de trucos en los que se trabaja con menos cartas. Lo que suelo hacer es descartar algunas del bloque, o bien que sea el espectador el que elija las que quiera. Como indiqué en el anterior artículo, no es mala idea sacar varios voluntarios y entregar un grupo de cartas a cada uno, de forma que sigan las instrucciones a la vez,  y si alguno se equivoca, que suele ocurrir, no sea el truco el que falle sino ese espectador. Nos referimos, por supuesto, a aquellos  trucos en los que el mago no es el que maneja las cartas, a diferencia de los trucos de ordenación, que vamos a ver inmediatamente. En todos los trucos mágicos que suelo utilizar me interesa, no solamente captar la atención del público, sino que vean, especialmente si es una sesión con alumnos, el fundamento matemático que hay detrás. Por ello, me parece interesante resaltar el estudio matemático de la razón por la que ese truco funciona, siempre que no haya un error en seguir las instrucciones. 2. Trucos con nueve cartas cualesquiera. Vamos a seguir con las cartas del 1 al 9 para que sea más fácil explicar el trasfondo matemático que tiene el truco. 2.1. Mueve el 1. En esta ocasión, el mago se vuelve de espaldas al espectador que ha salido al estrado y le va dando una serie de instrucciones. 2.1.1.   Presentación del truco. Se le entregan las nueve cartas al espectador y se le pide que las baraje y las coloque, boca arriba, formando una línea sobre la mesa. Se le explica que va a tener que realizar una serie de movimientos. Cada movimiento consistirá en cambiar la carta con el número 1 de lugar con la carta que esté a su izquierda o a su derecha, a gusto del consumidor. Las instrucciones que debe indicar el mago son las siguientes: a)    Cuenta, de izquierda a derecha de la fila, en qué lugar está el número 1 y realiza tantos cambios como indica ese valor. b)    Se quitan las dos cartas que están en los extremos. c)    Se hacen un total de cinco movimientos. d)    Se vuelven a quitar las dos cartas de los extremos. e)    Se hacen tres movimientos. f)      De nuevo se quitan las dos cartas de los extremos. De esa manera nos quedamos con sólo tres cartas. g)    Se hace un nuevo movimiento. h)    Se quita la carta que está a la izquierda. i)      Por último se hace un nuevo movimiento y se quita de nuevo la carta que está a la izquierda. j)      Sobre la mesa quedará solamente el número 1. 2.1.2.   Fundamento matemático. Este truco se basa en la paridad, como en el truco anterior. En todo momento el mago está jugando con las posiciones pares (2, 4, 6 y 8) e impares (1, 3, 5, 7 y 9) en la fila. Cada vez que se hace un número de movimientos impar, la paridad del lugar de la carta cambia. Si estaba en lugar par se traslada a un lugar impar y viceversa. Por lo que en el proceso que se indica, el mago sabe en cada caso si la carta está en un lugar par o impar y puede quitar las cartas correspondientes. Vamos a seguir el proceso paso por paso. a)    Si el 1 se mueve tantas veces como el lugar ocupado nos encontramos, que si estaba en lugar par, al hacer un número par de movimientos vuelve a quedar en una posición par. Si está en un lugar impar, al hacer un número impar de movimientos, termina también en un lugar par, luego los dos extremos (posiciones 1 y 9) se pueden quitar en la seguridad de que en ninguno de ellos está el 1. b)    Al hacer un número impar de movimientos, el 1 se cambia a un lugar impar, luego los extremos que quedan (correspondientes a los lugares 2 y 8 originales), se pueden quitar sin problemas. c)    Tras tres nuevos movimientos, el 1 vuelve a ocupar un lugar par, los dos nuevos extremos (los 3 y 7 originales) pueden eliminarse. d)    Y ya solo nos quedan tres cartas, las correspondientes a los lugares 4, 5 y 6 originales, sabiendo además que la carta está en uno de los dos extremos, por lo que a partir de ahí es muy fácil terminar el juego con las instrucciones finales. 2.1.3.   Con cualquier carta. Si trabajamos con nueve cartas cualesquiera, basta decirle al espectador que una vez colocadas en fila, elija una carta cualquiera sin nombrarla, y le indicamos que, con una serie de instrucciones, aunque no sabemos cuál ha elegido, vamos a conseguir que elimine las demás y se quede solo con esa carta. Queda incluso más vistoso si un espectador elige la carta y las instrucciones se le indican a otro espectador que es el que maneja las cartas. 2.2. En tres montones. Este es un truco adaptado de uno muy conocido que se realiza con 27 cartas, o incluso con 21 cartas. Me gusta especialmente por cómo podemos modificarlo para adaptarlo a nuestra conveniencia. 2.2.1.   Desarrollo del truco. Se le pide al espectador que elija una carta, del 1 al 9. El mago baraja las cartas y comienza a colocarlas boca abajo en tres montones, la primera al primer montón, la segunda al 2º, la tercera al 3º, la cuarta al primero de nuevo y así sucesivamente. A la vez que las coloca, se las va mostrando al espectador. Al acabar, le pregunta al espectador en qué montón ha quedado su carta, toma es montón y se lo muestra al espectador para que lo confirme, quedando las cartas siempre de espaldas al mago. Una vez confirmado el montón, lo coloca sobre uno de los otros dos montones y el tercero encima de todo. Vuelve a repetir el proceso totalmente. Una vez terminado, la carta del espectador ha quedado en el puesto 5º, por lo que al mago le basta contar hasta 5 y mostrar la carta elegida. 2.2.2.   Fundamento matemático. Es muy fácil seguir el viaje de la carta. Si en el primer reparto el montón que contiene la carta que ha elegido el espectador se coloca entre las otras dos, quiere decir que la carta debe estar en los lugares 4, 5 ó 6. En el segundo reparto, esa carta va a quedar la tercera del montón correspondiente, al colocar otro montón encima y otro debajo, la carta quedará en la posición 5. Si se juega con 27 ó 21 cartas, es necesario hacer el reparto tres veces y la carta vuelve a quedar en el centro. Con 27 cartas queda en la posición 14ª y con 21 en la posición 11ª. 2.2.3.   En la variedad está la diversión. En los procesos anteriores, también es posible ir colocando las cartas en los montones boca arriba, de forma que el espectador pueda ver claramente donde ha quedado su carta, aunque es posible que alguien que se encuentre atento pueda hacer el mismo seguimiento que el mago. Como he comentado, este truco es bastante conocido, por lo que a mí me gusta variar la posición final de la carta. Jugando con 9 cartas es posible que la carta elegida quede en cualquiera de las nueve posiciones posibles, solo basta jugar con el orden en que se apilan los montones una vez confirmado donde se encuentra la carta elegida. Suelo utilizarlo especialmente cuando alguien comenta al principio que ya conoce el truco, con lo que hago quedar la carta donde quiero y le pregunto a ese espectador donde está la carta. Lo normal es que diga en el centro y queda en evidencia que no es así. En la siguiente tabla tenemos el lugar donde queremos que queda la carta y el lugar donde debemos colocar el montón que tiene la carta elegida tanto en el primer paso como en el segundo. Hay que recordar que en esta versión las cartas se van colocando una a una boca abajo sobre la mesa. Si se hiciera boca arriba habría que cambiar las ordenaciones de los montones. Lugar Paso 1 Paso 2         Lugar Paso 1 Paso2         Lugar Paso 1 Paso 2 1 3 1 4 3 2 7 3 3 2 2 1 5 2 2 8 2 3 3 1 1 6 1 2 9 1 3 Vamos a ver un ejemplo cualquiera. Si queremos que la carta quede en la posición final 6, en el primer corte ponemos ese montón en el primer lugar. Es decir, quedará en las posiciones 1, 2 ó 3. Al repartir de nuevo, como se comienza repartiendo por encima del mazo, esa carta quedará en el puesto tercero de alguno de los tres montones. Si ahora ese montón lo colocamos en la segunda posición quedará exactamente en el puesto 6. Hay que tener presente, que cuando dejamos la carta en la posición central, da igual contar cinco desde arriba o desde abajo, pero si la queremos dejar en cualquier lugar, usando la tabla anterior, hay que empezar a contar desde la carta inferior. Todo lector interesado puede hacer el estudio para cuando se tienen 27 cartas, donde hay, lógicamente, 27 combinaciones posibles de los tres montones. 3. Con menos de 9 cartas. Vamos a ver un último bloque de trucos de cartas en las que se manejan menos de 9 cartas. Yo suelo utilizarlas aprovechando que estoy trabajando con nueve cartas, para quitar alguna y seguir en la misma línea de manejar pocas cartas. 3.1. Con mezcla australiana. La mezcla australiana en muy corriente en los juegos de cartas y sirve para ordenar adecuadamente una serie de cartas. La forma de realizarla es, tomar el mazo y pasar de encima del mazo una carta hasta abajo del mazo, la siguiente carta se coloca, siempre todo boca abajo, sobre la mesa y se repite el proceso. Una bajo el mazo, la siguiente a la mesa y así sucesivamente. Al final nos quedaremos con una sola carta que será la buscada en cada caso. 3.1.1.   Planteamiento del truco mágico. Se entregan las 9 cartas a un espectador y se le pide que separe entre 1 y 5 cartas, las que él quiera. De esa forma se quedará con un total de entre 4 y 8 cartas. Tras barajar las cartas realizará los siguientes pasos: a)    Elegirá una de las cartas que tiene en la mano, la colocará sobre la mano y el resto del mazo sobre ella. En todos los casos las cartas estarán cara abajo. b)    A continuación dirá la frase MAGIA POTAGIA aunque la segunda palabra la dirá deletreándola y por cada letra pasará una de las cartas del montón de arriba hasta abajo del mazo. c)    Después se hará una mezcla australiana y la carta que quede al final será la elegida por el espectador. 3.1.2.   Fundamento matemático. Lo primero a tener en cuenta es que la palabra a deletrear puede ser cualquiera siempre que tenga siete letras. Vamos a realizar un estudio de cómo van quedando las cartas. Consideremos que en todos los casos la carta elegida es el 1 y las demás serán las siguientes. Es decir, para hacer el estudio vamos a suponer que, de abajo arriba las cartas serán 1, 2, 3, 4, … En la primera columna tenemos el número de cartas que se ha elegido, en la segunda la posición en que quedan las cartas tras el deletreo. Recordar siempre que están ordenadas de abajo arriba en la serie. En la siguiente como quedan tras aplicar la mezcla australiana en el primer momento, y demás aplicaciones. Hay que tener en cuenta que cuando hay un número impar de cartas, tras el primer descarte, la primera va sobre la mesa en el siguiente descarte. Cartas Tras deletreo Tras 1er descarte Tras 2º descarte Tras 3er descarte 4 2 3 4 1 1 3 1   5 4 5 1 2 3 4 1 3 1   6 6 1 2 3 4 5 1 3 5 5 1 1 7 1 2 3 4 5 6 7 1 3 5 7 5 1 1 8 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 1 5 1 1 Este truco se basa en un problema clásico de la matemática recreativa llamado “El problema de Josefo”, planteado por el historiador judío Flavio Josefo del siglo I. En el Rincón Matemágico de Divulgamat hay una entrada sobre este problema y en artículo de Carlos Vinuesa también está explicado el fondo matemático con más detalle. 3.2. Voltear dos cartas. De entrada vamos a ver el truco con las cartas del 1 al 8, pues es más fácil la explicación matemática posterior. 3.2.1.   La puesta en escena. Se entregan ordenadas las cartas del 1 al 8 a un espectador. Siempre cara abajo, ira primero el 1 sobre la mano y encima del mazo el 8. Se le pide al espectador que realice los siguientes pasos: a)    Cortar por donde se quiera. b)    Se toman las dos primeras cartas del mazo y, de forma conjunta se les da la vuelta. c)    El espectador debe repetir los dos pasos anteriores todas las veces que quiera. Como es natural, al principio las dos cartas de arriba estarán cara abajo y se voltearán cara arriba, pero a medida que se siga el proceso, las cartas a voltear unas veces estarán cara arriba y otras hacia abajo. Eso no se tiene en cuenta, siempre se voltean las dos superiores juntas. d)     Una vez acabado el proceso, se separarán una a una en dos montones. Es decir, la primera en el primer montón, la segunda en el 2º, la tercera al primer montón y así sucesivamente. e)    Por último, el espectador tomará uno de los montones, le dará media vuelta como si fuesen una sola carta, y se colocará sobre el otro montón. En ese momento el mago hará ver que de las ocho cartas, exactamente cuatro están hacia arriba y otras cuatro cara abajo. Pero además, las cuatro que están cara arriba son todas de la misma paridad, es decir, o son las cuatro pares o las cuatro impares. Imagen 3: Final del truco de voltear dos cartas. 3.2.2.   Fundamentación matemática. Este truco se basa en el llamado Principio de Hummer, debido al mago estadounidense Bob Hummer. En primer lugar, podemos considerar, como en casos anteriores, las cartas formando un círculo, de forma que detrás del 8 vuelve a ir el 1 y después el 2 y así sucesivamente. Según esto, el corte no deshace en ningún momento esa cadena. Volvemos a toparnos con la paridad. Al principio, cuando están todas cara abajo, las cartas impares ocupan lugar impar y las pares lugar par. Al girar dos cartas juntas se realizan dos cambios, en primer lugar se cambia de lugar y por tanto de paridad y se cambia de estado pasando a estar cara arriba. De esa manera, en todo momento, las cartas que están cara abajo están en su paridad correcta y las que están cara arriba están en distinta paridad. Tras separar en dos montones nos encontraremos que en el primero, que deberían estar las cartas de lugar par (si no hubiésemos vuelto ninguna) están las cartas de lugar par cara abajo y las que están cara arriba son cartas impares. En el segundo montón (donde deberían ir las impares) pasa justo lo contrario, están cara abajo las impares y cara arriba las pares. Al voltear uno de los dos montones, conseguiremos que, o bien todas las cartas pares, o bien todas las impares queden cara abajo y el resto cara arriba. 3.2.3.   Aunque no parece lo mismo, lo es. Aunque se puede dar la vuelta al montón que se quiera, si le damos la vuelta al primer montón y se coloca sobre el segundo, las que quedan cara arriba son siempre las pares. Si lo hacemos al revés, segundo montón volteado sobre el primero, quedan boca arriba las cartas impares. Este truco se suele hacer más vistoso si en lugar que jugar con los números pares e impares se juegan con los colores. Basta elegir cuatro cartas rojas y cuatro negras y ordenarlas alternativamente, roja, negra, roja, negra, … o comenzando en negra. De esta manera al final nos encontramos con todas las cartas negras o rojas en un sentido y las otras en el otro sentido. 3.3. Arriba y abajo. Antes hemos visto un truco de cartas que he llamado Los tres montones en el que se podía colocar una carta, entre las nueve posibles, en el lugar que se quisiera, de forma que se pudiese hallar la carta elegida por un espectador. Vamos a ver una versión similar pero con 8 cartas. El truco lo he localizado en YouTube1 pero lo he adaptado, pues me parecía un poco confuso, para hacerlo semejante al que ya hemos visto. 3.3.1.   Desarrollo del truco. Se enseñan 8 cartas a un espectador y se le pide que elija mentalmente una de ellas. A continuación el mago realiza el siguiente proceso. a)     Va colocando una a una en dos montones, y cara arriba las ocho cartas. La primera al primer montón, la segunda al 2º, la tercera de nuevo al primer montón y así sucesivamente. b)    Le pide al espectador que indique en cuál de los dos montones esta su carta. c)    Una vez señalado, se toma el otro montón y se coloca sobre el elegido. Se da la vuelta a las cartas para que queden con el dorso hacia arriba. d)    Se repite el proceso tres veces. e)    Al terminar, la carta escogida es la primera del montón. 3.3.2.   Desarrollo matemático. Como las cartas se van colocando boca arriba, no se invierte el orden en el que están las cartas, sólo se dividen. Es fácil entonces seguir el camino de la carta. i.    Tras el primer reparto, como el montón de la carta se ha puesto el primero, la carta escogida está entre las cuatro primeras. ii.   En el segundo reparto, la carta quedará entre las dos primeras, luego al reconstruir el mazo, es una de las dos primeras. iii.  Al separar, en el nuevo reparto, la carta queda la primera de su montón, por lo que al reconstruir el mazo nos queda la primera de él. Como vimos en el truco de los tres montones, aquí se puede hacer el estudio para conseguir que la carta quede en el lugar que nosotros queramos y que podemos haber preguntado a otro espectador antes de comenzar con las cartas. Es interesante hacer el estudio de en qué orden hay que colocar el montón que tiene la carta escogida, el primero o el segundo, en cada reparto para llegar a la posición deseada. En la siguiente tabla aparece la distribución de los casos. Se indica, en los tres repartos donde debe colocarse el montón con la carta al reconstruir el mazo, el 1er montón o el 2º. Lugar Colocación           Lugar Colocación 1 1º 1º 1º 5 1º 1º 2º 2 2º 1º 1º 6 2º 1º 2º 3 1º 2º 1º 7 1º 2º 2º 4 2º 2º 1º 8 2º 2º 2º Se puede observar, que los lugares impares comienzan siempre con el montón en primer lugar, en el primer reparto, mientras que los pares comienzan en el segundo montón. Ahí lo dejo. 3.4. Todas vueltas menos una. En este truco se pretende volver todas las cartas de un mazo menos una, que será la elegida. Tal como lo encontré, se planteaba como que de las cartas del mazo, seis eran buenas y una mala, y que se volvían todas menos la mala. Yo lo voy a plantear como si se fuesen a volver todas las cartas menos la escogida por el espectador. 3.4.1.   Truco mágico. Se entregan siete cartas al espectador se le pide que las baraje y que elija una de ellas. Colocará sobre la mano el mazo cara abajo colocando la carta elegida encima del mazo, también cara abajo. A continuación se lanza un dado y el número que sale en él es el de cartas que vamos a mover en el mazo. Supongamos que nos ha salido un 3. El espectador realizará los siguientes movimientos. a)    Pasa de arriba hacia abajo del mazo 3 cartas. b)    Vuelve la primera carta del mazo y la coloca cara arriba. c)    Repite el proceso anterior seis veces hasta que queden todas las cartas cara arriba menos una que será la carta escogida. 3.4.2.   Seguimiento matemático. Como en otros trucos, vamos a hacer un seguimiento de cómo van las cartas en este proceso. Vamos a señalar por C las cartas que están cara arriba y por D las que están cara abajo. Voy a colocar un 1 en la primera carta que es la que queremos dejar cara abajo. El estudio lo vamos a realizar con el cambio de tres cartas. En cada paso indicamos las cartas que se pasan debajo del mazo y cambiamos el sentido de la última carta La distribución siempre aparece con las cartas consideradas desde abajo del mazo hacia arriba. Paso Distribución   Paso Distribución Inicial D D D D D D 1   4 D C C D 1 C C 1 D D 1 D D D C   5 1 C C D C C C 2 D D C D D 1 C   6 C C C 1 C C C 3 D 1 C D D C C       Se puede hacer el estudio con cualquier número de cambio. La base está en que inicialmente la carta está en el lugar 7 que es primo con respecto a cualquier número del 1 al 6, los cambios que se realizan con las cartas no le afectan hasta que no se hayan hecho 7 cambios. Se puede observar en la tabla anterior que si hubiésemos hecho el paso 7, ya le hubiese tocado volver la carta que estaba inicialmente encima del mazo. 3.4.3.   Otro enfoque. El lanzar el dado se hace para darle una prestancia de azar al truco, pero se puede ver fácilmente que con cualquiera de los valores se obtiene lo mismo. Una variación sería pedirle a alguien del público que dijera el número del 1 al 6. La cuestión es dar siempre la impresión de que el número elegido es al azar y no lo impone el mago. Otra posibilidad de presentarlo es que el mago baraje las cartas, y antes de entregárselas al espectador se fije en qué carta ha quedado en la posición superior, y bien de voz o anotándolo en un papel, indica qué carta va a ser la última que queda cara abajo.   4. Referencias: Alegria, P. y Ruiz, J.C. (2002): “La matemagia desvelada”. Sigma, nº 21, 145–174. Enlace activo el 30 de julio de 2018. Alegría, P. (2006): “Salvado por las matemáticas”. El Rincón Matemágico, Divulgamat, Enlace activo el 30 de julio de 2018. Alegría, P. (2008): Magia por principios. Editado por el propio autor. Álvarez, V.; Fernández, P. y Márquez, M. A. (2002): “Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos”. Gaceta Matemática, volumen 5, 711-735. Enlace activo el 30 de Julio de 2018. Blasco, F. (2007): Matemagia. Ediciones Temas de Hoy S.A., Madrid. Gardner, M. (1992): Magia inteligente. Zugarto ediciones, Madrid. Muñoz, J. (2013) “Cartomagia del 1 al 9”. Números, vol. 82, 55–63. Enlace activo el 30 de julio de 2018. Proyecto ESTALMAT Castilla y León (2008): “Paridad”. Enlace activo el 30 de julio de 2018 Vinuesa del Río, C. (2011): “Círculos mágicos”. Matematicalia, volumen 7, nº 4. Enlace activo el 30 de julio de 2018.   Nota: 1 https://www.youtube.com/watch?v=8b05NJOfx90

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687. La multiplicación rusa

¿No recuerdas bien las tablas de multiplicar? La técnica que vamos a describir –también llamada método de los campesinos rusos porque hasta hace poco era el método empleado por este colectivo– permite realizar el producto de dos números enteros, sabiendo únicamente multiplicar y dividir por 2. Curiosamente, este método binario –teóricamente rudimentario– está más cerca de los procesos utilizados por los ordenadores que el sistema de multiplicaciones que nosotros conocemos. Vamos a explicar el método multiplicando 89 por 37. Empezamos disponiendo los números en dos columnas, se divide el primero por 2 y se escribe el resultado debajo. 89 37 44     Si el número es impar –como en este caso–, el resto de la división es 1, pero vamos a olvidarlos, quedándonos únicamente con los cocientes. Continuamos con el mismo procedimiento, hasta que lleguemos a un 1: 89 37 44 22 11 5 2 1 Ahora consideramos el número de la segunda columna, y se realiza el proceso contrario: se multiplica por 2, hasta que se completan las casillas: 89 37 44 74 22 148 11 296 5 592 2 1184 1 2368 Ahora basta con sumar los números de la columna de la derecha que corresponden a números impares de la primera columna: 89 37 + 37 44 744 22 148 11 296 + 296 5 592 + 592 2 1184 1 2368 + 2368 3293 Y 3293 es precisamente el resultado buscado: sólo sabiendo sumar y multiplicar y dividir por 2 –algo sencillo– hemos conseguido realizar el producto de 37 por 89. ¿Por qué funciona este sistema? Si descomponemos 89 en sumas de potencias de 2, tenemos: 89 = 26 + 24 + 23 + 20 = 64 + 16 + 8 + 1. Y por la propiedad distributiva del producto respecto a la suma: 37 x 89 = 37 x (64 + 16 + 8 + 1) = 2368 + 592 + 296 + 37. Los números 74, 148 y 1184 deben descartarse, porque corresponden al producto de 37 por 2 = 21, 4 = 22 y 32 = 25, que son potencias  de 2 que no aparecen en la descomposición de 89. Visto en: Paolo Gangemi, Salades mathématiques et autres gourmandises numériques, First Éditions, 2010. Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

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688. André Lichnerowicz (1915-1998)

El matemático André Lichnerowicz (1915–1998) nació un 21 de enero. © Collège de France Se interesó sobre todo en las aplicaciones de la geometría diferencial a la física matemática, especialmente en relatividad general. Tuvo como profesor de geometría diferencial a Élie Cartan, y entre sus estudiantes a los matemáticos Thierry Aubin, Marcel Berger, Yvonne Choquet-Bruhat y Claude Berge o al físico Thibault Damour. Fue profesor en la Universidades de Estrasburgo (1941-1949), de París (1949-1952) y de física matemática en el Collège de France (1952-1986). Fue elegido miembro de la Académie des Sciences des sciences en 1963. Más información: André Licnerowichz, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University André Lichnerowicz, Bulletin de l’UPS, enero 2011, 20-24 Marcel Berger, Jean-Pierre Bourguignon, Yvonne Choquet-Bruhat, Charles-Michel Marle y André Revuz, André Lichnerowicz (1915–1998), Notices AMS 46 (11) (1999) 1387-1396 Yvette Kosmann-Schwarzbach, Tribute to André Lichnerowicz (1915–1998), Notices AMS 56 (2) (2009) 244-246 Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

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689. René Baire (1874-1932)

El matemático René-Louis Baire (1874-1932) nació un 21 de enero. Su trabajo se centró en temas de continuidad de funciones, números irracionales y el concepto de límite. Su delicada salud condicionó su carrera: realizó un número limitado de publicaciones, aunque de notable relevancia; llevan su nombre los espacios de Baire, el teorema de categorías de Baire, las funciones de Baire, la medida de Baire y la propiedad de Baire. Entre sus trabajos, destaca Théorie des nombres irrationels, des limites et de la continuité (1905) y Leçons sur les théories générales de l’analyse (1907-1908) que se convirtió en un clásico de la didáctica del análisis matemático. Dirigió la tesis a Arnaud Denjoy, que casualmente falleció un 21 de enero de hace 40 años. Más información: Lettres de René Baire à Emile Borel, Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques 11,  33-120, 1990 René Baire, Bulletin de l’Union des Professeurs de Spéciales 233, 15-20, 2011 Pierre Dugac, Notes et documents sur la vie et l’œuvre de René Baire, Archive for History of Exact Sciences 23. VIII.,  15 (4), 297-383, 1976 M. E. Ballvé y P. Jiménez Guerra, Borel, Baire y Lebesgue, CINDOC Trabajos digitalizados de René Baire Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

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690. MatHex: Juego de estrategia donde el conocimiento es tu arma

Ya está disponible la versión beta, en castellano, del juego MatHex. El videojuego tiene como objetivo acercar la ciencia a todo tipo de público, combinando estrategia y conocimientos. La base del videojuego es un tablero formado por hexágonos inspirado en el clásico juego de mesa HEX, creado por los matemáticos John Nash y Piet Hein, combinado con preguntas.

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